Компьютер Бога

    Усилия по созданию квантового компьютера предпринимаются с начала 80-х ушедшего века — столетия великих научных достижений, среди которых квантовая механика стоит на первом месте (впрочем без СТО она бы не развилась, то же относится к ядерной физике). Эта теория сформировалась к началу 30-х, и давность закладки основ привела к тому, что ученые XXI века часто не утруждаются изучением фундамента, когда спешат пристроить свои башенки. Ярким примером такой тенденции служит вдохновляющее направление — квантовый компьютинг. 

 Квантовая запутанность

    В основе данного вероучения лежит понятие запутанности (entanglement). Однако сложившиеся и популяризованные взгляды на этот предмет далеко ушли от того, что на самом деле вытекает из теории. Парадигме запутанности посвящена статья http://extremal-mechanics.org/archives/12460, а здесь мы рассмотрим проблему квантовых вычислений. Для начального знакомства с темой рекомендуется статья http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf, причем достаточно разобраться с параграфами 2, 3, 4, 5 и 7.1. Параграф 6 желателен, но может быть опущен без ущерба пониманию идей, на коих зиждется мечта о квантовом компьютере. Я постараюсь кратко пояснить суть дела, однако сделать это на пальцах невозможно. В частности нужно владеть абстракцией вектора, как объекта, который можно складывать с себе подобными и умножать на числа. Гавным содержанием этой статьи являются критические замечания в отношении научных основ мечты о Святом Граале эпохи интернета. 

    Исходным понятием является кубит (quantum bit) — элементарный носитель информации. В качестве физической реализации в принципе может выступать любой квантовый объект, имеющий два базовых состояния, которые обозначаются |0\rangle и |1\rangle . На роль кубита, например, годится фотон с одной из двух перпендикулярных поляризаций или электрон с одним из двух противоположных направлений спина. С математической точки зрения состояния являются векторами, которые можно умножать на комплексные числа, а также складывать между собой. Таким образом, помимо базовых состояний |0\rangle и |1\rangle, которые аналогичны 0 и 1 в обычном бите, кубит может пребывать в квантовом состоянии 

|x\rangle= c_0\cdot|0\rangle+c_1\cdot|1\rangle ,                 (1)

где c_0, c_1 — любые комплексные числа (в частности действительные). При этом физическое состояние кубита не изменится, если мы перейдем к пропорциональным коэффициентам c_0, c_1 , т.е., умножим их на одно и то же число a\neq 0 . Поэтому вектор |x\rangle можно нормировать — выбрать множитель a так, чтобы новые коэффициенты c_j'=ac_j удовлетворяли условию |c_0'|^2+|c_1'|^2=1 . Такой вектор |x'\rangle= c_0'\cdot|0\rangle+c_1'\cdot|1\rangle называется нормированным или единичным. 

   Физический смысл состояния (1), которое называется суперпозицией базовых состояний, заключается в следующем. Если вектор |x\rangle является единичным, то числа |c_0|^2 и |c_1|^2 (т.н. амплитуды вероятностей) дают вероятности того, что при измерении состояния кубита будет получено |0\rangle и |1\rangle соответственно. После измерения кубит останется в том базовом состоянии, которое оказалось измеренным. Вывести из него может только внешнее воздействие. Таким образом можно сказать, что кубит в нормированном состоянии (1) с вероятностью |c_0|^2  равен 0 и с вероятностью |c_1|^2 равен 1. Ничего подобного с обычным битом происходить не может. Суперпозиция — существенно квантовый эффект! Термин «базовые» применительно к состояниям |0\rangle и |1\rangle означает, что любое другое состояние кубита может быть выражено их суперпозицией в смысле (1) для некоторых чисел c_0 и c_1 (определенных с точностью до пропорциональности). 

    Рабочий регистр квантового компьютера мыслится набором из n кубитов, которые каким-то образом взаимосвязаны между собой — запутаны. Для того, чтобы реализовать его грандиозные возможности, число n должно быть достаточно большим, скажем n>100. Пусть каждый кубит номер j в регистре находится в своем состоянии |x_j\rangle . Если рассматривать набор из n кубитов, как квантовый объект, то его состояние можно описать набором векторов |x_1\rangle|x_2\rangle...|x_n\rangle, который кратко обозначается |x_1x_2 ... x_n\rangle. В статье http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf используется термин «тензорное произведение» и обозначения вроде |x_1\rangle\otimes...\otimes|x_n\rangle, способные смутить многих читателей. Им можно просто игнорировать значок \otimes, полагая   

|x_1\rangle\otimes|x_2\rangle\otimes...\otimes|x_n\rangle=|x_1x_2...x_n\rangle                (2)

    Пока нет никакой запутанности — просто набор независимых кубитов, хотя и считающихся единым объектом. Запутанность появится, если мы введем в рассмотрение суперпозиции состояний  (2),  т.е.,  векторы вида

|A\rangle=\sum_{j=1}^n c_j\cdot |x_{1j}x_{2j}, ..., x_{nj}\rangle                   (3)

где c_j — комплексные или вещественные числа, |x_{kj}\rangle — вектор состояния k — го кубита. Заметим, что множество всевозможных векторов вида (3) называется тензорным произведением n пространств состояний кубитов, хотя без слова «тензор» вполне можно обходиться. По определению состояние (3) является запутанным, если вектор |A\rangle нельзя разложить в произведение вида (2). В этом случае воздействие на любой из кубитов отражается на состояниях других.

   Для иллюстрации рассмотрим случай двух кубитов. Их общее состояние |01\rangle не является запутанным. Измерив второй кубит мы найдем его в состоянии |1\rangle , при этом первый останется в |0\rangle . Если же пара кубитов находится в запутанном состоянии |01\rangle+|10\rangle , то при измерении второго кубита мы с равной вероятностью P=0.5 найдем его в состоянии |0\rangle или |1\rangle . Если второй кубит обнаружен в состоянии |0\rangle , то это означает, что запутанная пара оказалась в |10\rangle . Соответственно, первый кубит автоматические окажется в состоянии |1\rangle . Если же второй кубит измерен в состоянии |1\rangle , то первый сразу оказался в |0\rangle . Таким образом, измерение состояния одного из запутанных кубитов мгновенно влияет на состояние второго. При этом исходное, общее состояние пары кубитов разрушается, что драматически называют коллапсом волновой функции (термин «волновая функция» можно считать синонимом для «вектор состояния», хотя между ними есть формальное различие).  

   Все это действительно вытекает из квантовой механики, но лишь при одном условии! Кубиты должны быть реально связаны между собой в рамках единой, квантовой системы. Дать строгую формулировку затруднительно, однако интуитивно это ясно. Например, если кубитами являются фотоны в состояниях поляризации, то они должны быть частью единого поля, которое остается таковым в процессе распространения. Если же каждый из фотонов находится в своем волновом пакете и они удалены друг от друга, то о реальной запутанности речи быть не может. При этом можно формально рассматривать векторы общих состояний вида (3), но от этого фотоны не запутаются. Физической реальности будут соответствовать только векторы вида (2), которые выражают факт пребывания каждого фотона в своем «личном» состоянии без какой-либо связи с другими. Другим примером запутанных кубитов являются электроны одного атома, рассматриваемые в спиновых состояниях. Очевидно, что электроны не взаимодействующих атомов могут быть запутанными разве лишь формально.

 Рисунок иллюстрирует измерение одного кубита в квантовом регистре из 6-ти кубитов

   Однако адепты идеи квантового компьютера, среди которых очень много математиков, исходят из понятия запутанности, имеющего под собой чисто формальную основу. Они истинно верят, что любой набор кубитов можно запутать, сблизив их между собой, после чего развести на любое расстояние, … и запутанность останется.

 Квантовая телепортация

    На этой фантазии основан т.н. парадокс ЭПР — центральный миф учения о квантовом компьютере. О нем можно почитать в параграфе 3.4 статьи http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf, оригинальная формулировка и критика http://extremal-mechanics.org/archives/12460. На ЭПР также основан миф о телепортации, родившийся из умозрительной возможности передать состояние кубита другому кубиту, расположенному на любом удалении. Об этой технологии можно прочитать в пункте 4.2.2 вышеуказанной статьи. Ниже дано упрощенное изложение параграфа 4.1 о телепортации кубита.

    Для нее требуется преобразование C_{not}, которое действует на пару кубитов в состоянии |xy\rangle следующим образом. Если x=1, то C_{not} не меняет состояние первого кубита, но изменяет состояние второго (логическое отрицание бита y). Если x=0, то C_{not} не меняет состояния обоих кубитов. Преобразование C_{not} имеет полное имя CONTROLLED-NOT.

   Пусть у Алисы и удаленного Боба есть по одному кубиту из запутанной пары в общем состоянии

|\psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle+|11\rangle\right)

Коэффициент 1/\sqrt{2} является нормирующим множителем. Алиса хочет телепортировать Бобу другой кубит, который находится в состоянии \varphi=a|0\rangle+b|1\rangleСостояние набора этих кубитов можно задать вектором   

|\varphi\rangle|\psi_0\rangle=\left(a|0\rangle+b|1\rangle\right)\bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle+|11\rangle\right)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a|000\rangle+a|011\rangle+b|100\rangle+b|111\rangle\right)            (4)

Первый кубит в тройке |xyz\rangle подлежит телепортации, второй и третий — запутанная пара кубитов Алисы и Боба соответственно. Алиса применяет к вектору (4) преобразование C_{not}\otimes I, а затем H\otimes I\otimes I. Фактически она воздействует C_{not} на первые два кубита, которые ей доступны, а третий остается неизменным. Затем применяет к первому кубиту преобразование H (определено в начале пункта 4.1.1), а два других не меняются. 

   Потом Алиса измеряет первые два кубита, которые оказываются в одном из состояний |xy\rangle . Соответственно, запутанный с ними кубит Боба переходит в одно из четырех состояний, указанных в таблице в конце п. 4.2.2 http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdfПолученную при измерении пару битов Алиса пересылает Бобу по обычной связи (например через интернет). В зависимости от полученных значений он применяет к своему кубиту одно из преобразований I, X, Y, Z, согласно таблице в конце п. 4.2.2. Действие I, X, Y, Z описано в начале параграфа 4.1. В результате всех этих манипуляций кубит Боба переходит в состояние a|0\rangle+b|1\rangle того кубита, который Алиса хотела телепортировать. При этом состояние последнего разрушилось, т.к. клонирование состояний невозможно (доказано). Таким образом, имела место передача состояния кубита, необходимая для этого информация передана обычным образом.

   Едва ли верно называть это телепортацией. Даже если бы удалось передать квантовое состояние макроскопического объекта, то для его воспроизведения в другом месте потребовался бы физически тождественный объект. Сначала эту «заготовку» нужно разместить по месту прибытия. Поэтому фантазии о мгновенных телепортациях, как способе преодоления межзвездных расстояний, не имеют под собой оснований. Кроме того для человека, который подвергся такой нуль-транспортировке, она бы означала смерть. Копия исходного лица, возникшая по месту прибытия, была бы другим человеком, хотя и с тем же набором воспоминаний (см. фильм «Луна 2112″ и статью http://extremal-mechanics.org/archives/4798). В любом случае ограничение перемещений скоростью света остается в силе, т.к. метод квантовой телепортации предполагает передачу информации (посредством сигналов).

    Но дело обстоит намного хуже — даже состояние одного кубита телепортировать нельзя! Причина в том, что пару удаленных друг от друга, запутанных кубитов создать невозможно. Физическая абсурдность обратного утверждения очевидна, однако предположим, что математической операции тензорного произведения пространств состояний двух взаимно-удаленных кубитов все-таки соответствует физически реальная система — запутанная пара. Даже в этом случае описанный метод телепортации не может быть осуществлен физически. 

   В самом деле, согласно квантовой механике все частицы делятся на два класса: бозоны и фермионы. К первым относятся фотоны, а к вторым — электроны. Если набор из n бозонов образует единый квантовый объект, то допустимые для него векторы состояний (3) должны быть симметричными относительно любых перестановок частиц. Это означает, что если в каждом слагаемом |x_{1j}x_{2j}...x_{nj}\rangle произвольно переставить сомножители, то вектор (3) не должен измениться. Примером перестановки является транспозиция (меняет местами две частицы):

|x_{1j} \ldots x_{pj} \ldots x_{qj} \ldots x_{nj}\rangle\to |x_{1j} \ldots x_{qj} \ldots x_{pj} \ldots x_{nj}\rangle

    Любая перестановка может быть выполнена, как последовательность транспозиций. Такое разложение неоднозначно, но число транспозиций всегда будет четным для одних перестановок и нечетным для других. В первом случае перестановка называется четной, а во втором нечетной. Для набора из n фермионов допустимые состояния (3) должны быть антисимметричными относительно любых перестановок. Это означает, что если в каждом слагаемом |x_{1j}x_{2j}...x_{nj}\rangle одинаково переставить сомножители, то в случае четной перестановки вектор (3) не изменится, а в нечетном случае он поменяет знак. Именно различие в поведении при перестановках собраний частиц делит их на бозоны и фермионы.

    Таким образом пара запутанных кубитов, являющихся бозонами, может быть в состояниях |00\rangle , |11\rangle , |01\rangle+|10\rangle , но не может находиться в |10\rangle , т.к. при транспозиции оно переходит в |01\rangle . Пара кубитов, являющихся фермионами, не может быть в состояниях |00\rangle и |11\rangle , т.к. при транспозиции (нечетная перестановка) они не меняются. Запутанная пара фермионов может находиться в состоянии |01\rangle-|10\rangle , т.к. при транспозиции оно переходит в |10\rangle-|01\rangle=-(|01\rangle-|10\rangle) (меняет знак).

    Проверим, что преобразование CONTROLLED-NOT не сохраняет симметрию и антисимметрию векторов состояний:

C_{not}(|11\rangle)=|10\rangle      образ симметричного вектора не симметричен и не антисимметричен;

C_{not}(|10\rangle-|01\rangle)=|11\rangle-|01\rangle    образ антисимметричного вектора не симметричен и не антисимметричен.    

Таким образом, применяя преобразование C_{not} к паре запутанных бозонов, получим состояние, в котором она не может оказаться. Аналогично, применяя C_{not} к паре запутанных фермионов, получим состояние, в котором они вместе быть не могут. Поскольку это преобразование используется в телепортации, попытка его физической реализации приведет к тому, что состояние двух кубитов Алисы перестанет быть запутанным — единая квантовая система распадется на два независимых кубита в состоянии вида |x\rangle\otimes|y\rangle

    Далее, вектор (4), который служит исходным состоянием тройки кубитов, не является симметричным и не является антисимметричным. Это также относится к результату манипуляций над ним (см. п. 4.2.2). Таким образом, данная тройка кубитов не может находиться в запутанном состоянии, т.к. она не может образовывать единую квантовую систему из трех бозонов или трех фермионов. Однако алгоритм предполагает, что первая пара кубитов запутана с третьим. Поскольку второй и третий кубит предполагаются запутанными, первые два кубита также должны быть запутаны между собой (вплоть до измерения Алисой состояния своих кубитов). Но, как показано выше, преобразование C_{not} разрушит эту взаимосвязь.

   Итак, алгоритм телепортации, описанный в п. 4.2.2 из http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf, осуществить невозможно. По-видимому, соображения симметрии/антисимметрии могут быть использованы для доказательства невозможности телепортации состояния кубита посредством других алгоритмов. Однако, в этом доказательстве нет необходимости, поскольку некритическая и наивная, физическая интерпретация математической запутанности не имеет под собой эмпирических оснований.

  Продукт неудачной телепортации человека (скриншот из фильма «Муха»)

    Но как быть с успешными экспериментами по телепортации одного кубита, о которых идет речь в п. 4.2.2 ?! Первый из этих опытов описан в статье http://www.nature.com/nature/journal/v390/n6660/abs/390575a0.html. Из аннотации видно, что данный эксперимент не был телепортацией в том смысле, который обсуждался выше. Утверждается, что имело место измерение поляризации одного из пары запутанных и удаленных друг от друга фотонов. При этом оказалось, что (как и предсказывает псевдо-парадокс ЭПР) второй фотон имел такую же поляризацию. Данный результат авторы назвали телепортацией. Такая свобода манипулирования научно-фантастическими терминами, вносящая изрядную сумятицу в умы, по-видимому характерна для энтузиастов квантового компьютинга. Но был ли такими опытами в действительности подтвержден феномен запутанности взаимно удаленных частиц, являющийся главным каноном этого вероучения ? 

     Позволю себе утверждать, что отнюдь нет! Опыты с запутанными фотонами были интерпретированы ошибочно. Уверенность в этом подкрепляется отцами-основателями квантовой механики — Гейзенбергом и Дираком, которые внесли наибольший вклад в эту науку. В книге «Физические принципы квантовой теории», изданной в СССР в далеком 1932-м,  Гейзенберг пишет на стр. 34 по поводу ЭПР нечто важное: 

    «В связи с этими рассуждениями здесь должно быть указано на мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном. Вообразим один световой квант, который представлен посредством волнового пакета, построенного из максвеллевских волн и которому, таким образом, приписана известная область пространства и, в смысле соотношений неопределенности, также определенная область частот. Посредством отражения от полупрозрачной пластинки мы можем очевидно легко разложить этот волновой пакет на две части: отраженную и прошедшую. Тогда существует определенная вероятность найти световой квант или в одной, или в другой части волнового пакета. Через достаточно долгое время обе части будут сколько угодно далеко удалены друг от друга. Если теперь посредством опыта будет установлено, что световой квант находится , положим, в отраженной части волнового пакета, то это одновременно даст, что вероятность нахождения светового кванта в другой части равна нулю. Опыт на месте отраженной половины пакета производит тем самым некоторое действие (сведение волнового пакета!) на сколь угодно удаленном расстоянии, где находится  другая половина, и легко видеть, что это действие распространяется со сверхсветовой  скоростью. Одновременно, конечно, также видно, что подобное распространение действия никогда не может быть использовано для того, например, чтобы посылать сигналы со сверхсветовой скоростью, так что  изложенное здесь поведение волнового пакета никаким образом не противоречит основным постулатам теории относительности.»

На первый взгляд  этот фрагмент должен вдохновить искателей Святого Грааля, но … речь идет об одном фотоне. Никаких пар запутанных фотонов в таких экспериментах нет! Один фотон находится в суперпозиции состояний, отвечающих двум удаленным волновым пакетам. Заметим, что в опытах с запутанными фотонами используются интерферометры, которые фиксируют факт совпадения поляризаций. В этой связи уместно процитировать Дирака, который в фундаментальной книге «Принципы квантовой механики», изданной в СССР в 1960 (первое английское издание 1930), пишет на стр. 25:

«… Пусть мы имеем пучок света, состоящий из большого числа фотонов, который расщепляется на две компоненты одинаковой интенсивности. Сделав предположение о том, что интенсивность пучка связана с вероятным числом фотонов, мы получили бы, что в каждую из компонент попала бы половина от общего числа фотонов. Если далее эти две компоненты будут интерферировать, то мы должны потребовать, чтобы фотон из одной компоненты мог интерферировать с фотоном в другой  компоненте. Иногда эти два фотона уничтожались бы, иногда же они превращались бы в четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает эту трудность, считая, что каждый фотон входит отчасти в каждую из двух компонент. Тогда каждый фотон интерферирует лишь с самим собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит.»

   Таким образом, в экспериментах со спутанными фотонами, на самом деле, фиксируются факты «запутанности» одного фотона с самим собой. 

 Квантовые вычисления

     Идея квантовых вычислений основана на гипотезе о том, что любое унитарное преобразование пространства состояний квантового регистра (см. выше) может быть физически реализовано через воздействие на кубиты — сразу все или выборочно. Определение унитарного преобразования дано в параграфе 4 http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf (Квантовые вентили). Такие преобразования играют фундаментальную роль в квантовой механике. Они называются вентилями (gate), что указывает на связь со схемотехникой. Доказано, что любое преобразование двоичного кода из n битов в код из k битов может быть выполнено через композицию вентилей Фредкина F и Тоффоли T (п. 5.1).

    Вентиль T аналогичен C_{not}, но действует на тройки кубитов, F также действует на тройки. Легко проверить, что T разрушает симметрию состояний: T(|111\rangle)=|110\rangleВентиль F действует на симметричные векторы, как тождественное преобразование. В самом деле:

  F(|101\rangle+|110\rangle+|011\rangle)=|110\rangle+|101\rangle+|011\rangle

  F(|100\rangle+|010\rangle+|001\rangle)=|100\rangle+|010\rangle+|001\rangle

  F(|111\rangle)=|111\rangle      F(|000\rangle)=|000\rangle .

Легко понять, что любой симметричный, трехкубитный вектор состояния является линейной комбинацией векторов в левых частях этих уравнений. Следовательно, вентиль Фредкина не меняет симметрические состояния. Поэтому любая последовательность преобразований T и F, применяемых к любым тройкам кубитов симметричного регистра, разрушит симметрию этого состояния или оставит регистр неизменным. Отсюда следует, что квантовая параллелизация операций над массивами данных невозможна.  

    Если в качестве кубитов использовать фермионы, например электроны в спиновых состояниях, то при числе кубитов n\geq 3 любой (антисимметричный) вектор состояния является нулевым. Это вытекает из следующего геометрического факта: любой  поливектор в пространстве с размерностью меньшей его ранга равен нулю. Это также легко проверить непосредственно, попытавшись составить антисимметричное состояние из векторов вида |000\rangle, |001\rangle, \ldots, |111\rangle. При этом не следует путать нулевой вектор, которому не соответствует никакое физическое состояние, с вектором состояния |00\ldots0\rangle.

   Таким образом, фермионы не годятся для регистров из более, чем двух кубитов. Практически это означает, что квантовые компьютеры можно создавать только на «элементной базе» из бозонов (например фотонов или альфа-частиц, хотя для последних не ясно, что считать состояниями |0\rangle и |1\rangle ). Однако, как мы видели выше, в роли универсального компьютера такое устройство нежизнеспособно. Для того, чтобы понять другие доводы, рассмотрим идею квантовых вычислений.   

Компьютер от компании D-Wave, который она называет квантовым

   Допустим, что нужно вычислить какую-то функцию f(x), которая для целого аргумента с n двоичными разрядами принимает целое значение с k двоичными разрядами. Для этого нужен регистр из n кубитов для записи значений аргумента и регистр из k кубитов для записи значений функции. Тогда величина x может быть равна 0, 1, \ldots, 2^n-1 . Каждому из этих значений соответствует вектор состояния первого регистра, отвечающий базовым состояниям кубитов |0\rangle или |1\rangle, которые определяются двоичными цифрами числа x. Такие состояния регистра будем обозначать |x\rangle, например |01\ldots 01\rangle при x=01\ldots 01. Для начала вычислений инициируется следующее (нормированное) состояние первого регистра:

\frac{1}{\sqrt{2^n}}\cdot\sum_{x=0}^{2^n-1}|x\rangle              (5) 

Для этого к состоянию |00\ldots 0\rangle применяется унитарное преобразование Уолша-Адамара (п. 4.1.1). При измерении значений кубитов в состоянии (5) с вероятностью P=2^{-n} может получиться любое целое число от 0 до 2^n-1. Затем второй регистр устанавливается в |0\ldots 0\rangle , после чего система из двух регистров оказывается в состоянии 2^{-n/2}\cdot\sum_{x=0}^{2^n-1}|x,0\rangle . В целом оно не является запутанным. Считается, что это состояние станет запутанным после применения к паре регистров унитарного преобразования U_f, определяемого функцией f(x) (см. последний абзац на стр. 27 http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf).  Таким образом, получается следующее состояние пары регистров:

  \frac{1}{\sqrt{2^n}}\cdot\sum_{x=0}^{2^n-1}|x, f(x)\rangle              (6)

Как видно, одного применения вентиля U_f оказалось достаточно, чтобы были вычислены значения f(x) для всех значений x=0, 1, \ldots, 2^n-1 одновременно. В этом и заключается естественный параллелизм квантовых вычислений.

   При рабочем количестве кубитов первого регистра в несколько сотен, число 2^n будет гигантским, поэтому такой параллелизм принципиально не доступен на обычных суперкомпьютерах. Компьютер Бога — вполне адекватное сравнение! Однако, при считывании результатов из второго регистра с вероятностью P=2^{-n} может получиться любое из чисел f(x). Прежде чем обсуждать проблему считывания данных квантовых вычислений, рассмотрим еще один контрдовод к их физической реализуемости.  

    Он снова исходит из соображений симметрии. Как было показано выше, в практически полезном компьютере в роли кубитов могут выступать только бозоны. Поэтому векторы их запутанных состояний должны быть симметричными, т.е., не меняющимися при любых перестановках сомножителей в слагаемых (2) вектора (3). Однако легко видеть, что вектор (6) не является симметричным, т.к. транспозиция кубитов из первого и второго регистров может изменить его. Таким образом, после применения вентиля U_f общее состояние пары регистров не является запутанным. Следовательно, при измерении второго регистра с целью получения результата вычислений мы получим некоторое число f(x_0), но не сможем выяснить, какому именно значению x=x_0 оно соответствует. Дело в том, что состояние (6) физически невозможно, поэтому вектор |x_0, f(x_0)\rangle — одно из слагаемых в (6) не может быть получен при измерении регистров. 

   Итак, квантовый параллелизм при вычислении произвольных функций F(x) нельзя осуществить физически. Но предположим, что для какой-то функции f(x) это удалось сделать, и мы получили пару регистров в общем состоянии (6). Телепортировать результаты вычислений никуда нельзя, т.к. квантовая телепортация невозможна (см. выше). Вопрос: что с ними делать? Допустим, что мы хотим узнать число f(x_0) для некоторого значения x=x_0. Используя алгоритм Гровера (параграф 7.1), для этого достаточно добавить к регистрам еще один кубит, в котором будут записываться значения логической функции P(x), равной 1 при f(x)=f(x_0) и равной 0 при при f(x)\neq f(x_0) . Затем к вектору 

\frac{1}{\sqrt{2^n}}\cdot\sum_{x=0}^{2^n-1}|x, f(x), P(x)\rangle                 (7)

применяется преобразование обращения знака коэффициентов a_x при всех векторах  |x, f(x), P(x)\rangle в сумме (7), для которых P(x)=1 (первоначально все a_x=1/\sqrt{2^n} ). Эта операция описана в п. 7.1.2. К измененному таким образом вектору (7) применяется преобразование инверсии  коэффициентов a_x  относительно среднего значения A. Оно описано в п. 7.1.1, при этом суммирование следует вести до N-1=2^n-1, где n — число кубитов в первом регистре. Стоит пояснить, что инверсия чисел a_x относительно их среднего A означает симметричное отражение всех точек a_x относительно точки A на комплексной плоскости. В результате этих остроумных действий коэффициенты перед векторами вида |x, f(x), 1\rangle в сумме (7) вырастут по модулю в сравнении с коэффициентами перед векторами вида |x, f(x), 0\rangle

     После того, как описанные шаги алгоритма Гровера будут повторены \pi\sqrt{2^n}/4 раз (больше нельзя!), амплитуды вероятностей, т.е., коэффициенты a_x при векторах |x, f(x), 1\rangle станут существенно большими по модулю, чем при векторах |x, f(x), 0\rangle . Это означает, что измерение второго регистра с наибольшей вероятностью даст число f(x_0), а двоичный код в первом регистре окажется равным такому x=\widetilde x, что f(x_0)=f(\widetilde x) (возможно \widetilde x=x_0). Тем самым будет вычислено значение функции f(x) при x=x_0 . Если же измерение не даст числа f(x_0), то процесс следует повторять, пока не будет получен искомый результат (поскольку искомый результат заранее не известен, то повторять придется в любом случае, выбирая из полученных чисел то, которое встречается чаще всего). Из-за большой вероятности события P(x)=1 это не продлится долго. Так можно получить значение f(x_0) для любого x_0=0, 1, \ldots, 2^n-1 .

   Описанный метод увеличения вероятностей |a_x|^2 в состояниях вида 

\sum_{x=0}^{2^n-1}a_x\cdot |x, f(x), P(x)\rangle             (8)

также страдает нарушением симметрии состояний запутанных бозонов. В самом деле, если какое-то слагаемое вида |x_0, f(x_0),1\rangle входит в (8) с коэффициентом a_{x_0}, значительно превышающим по модулю коэффициенты при векторах вида |x, f(x),0\rangle, то очевидно, что такой вектор (8) не будет симметричным/антисимметричными. Следовательно, алгоритм Гровера не может быть физически реализован на регистрах, кубиты которых являются неразличимыми бозонами/фермионами. Он также не может быть использован для неупорядоченного поиска записи в файле, за исключением каких-то частных случаев. Отмечу еще раз, что квантовые вычисления по схеме (6) физически не осуществимы.

Эмуляция с помощью пространств Фока

   Проблема с симметрией состояний известна, но большинство специалистов над ней не задумываются. В качестве решения предлагается эмуляция квантовых регистров с помощью цепочек фермионов (fermionic lattices) или, другими словами, пространств Фока. Эта идея заключается в следующем.

   Пусть даны n состояний |\psi_1\rangle,\ldots,|\psi_n\rangle какого-нибудь фермиона, и других состояний он принимать не может. Тогда состояние |x_1x_2\ldots x_n\rangle виртуального, квантового регистра предлагается эмулировать набором из k таких фермионов, где k — число единиц в двоичном коде x_1x_2\ldots x_n. При этом фермионы находятся в общем антисимметричном состоянии, отвечающем занятым состояниям |\psi_{j_1}\rangle,\ldots,|\psi_{j_k}\rangle, где j_1,\ldots,j_k — номера разрядов регистра, в которых стоят единицы. Соответственно, линейные комбинации вида (3) состояний виртуального регистра эмулируются такими же линейными комбинациями оответствующих им состояний цепочек фермионов. 

   Выбор фермионов, а не бозонов обусловлен тем, что никакие два фермиона в этой системе не могут находиться в одном состоянии |\psi_j\rangle. В противном случае такая эмуляция была бы невозможной. Таким образом, всевозможным состояниям квантового регистра соответствует пространство Фока фермионных состояний, в которых число частиц варьируется от 0 до n

   Считается, что такая эмуляция решает проблему нарушения симметрии состояний в процессе квантовых вычислений. Однако, она катастрофически усложняет физическую реализацию квантовых алгоритмов! Дело в том, что придется различать и контролировать не 2 состояния каждого кубита в регистре из n кубитов, а n состояний фермионов в системе, где число этих частиц меняется в процессе вычислений. При этом n достигает сотен или тысяч, если нужен квантовый компьютер со всеми его фантастическими возможностями. Проблема декогеренции физических кубитов на этом фоне выглядит детской забавой, а усилия, направленные на ее решение, были затрачены во многом понапрасну.

   Есть также теоретические трудности, связанные с эмуляцией запутанных состояний виртуального регистра. Для определения запутанности по состояниям фермионных цепочек прибегают к ухищрениям, которые не дают полного решения проблемы. Следствием этого стал например тот факт, что фермионному состоянию |10\rangle-|01\rangle отказывают в праве быть запутанным на том основании, что это состояние якобы  нефизическое.

 Итог

    Вопреки всеобщему энтузиазму, реальные перспективы квантовых компьютеров выглядят весьма туманно. Даже безотносительно к вопросу о физической реальности квантовой магии, принципиальная осуществимость квантовых вычислений вызывает глубокие сомнения. О них ученые предпочитают не рассказывать обществу, если судить по научно-популярным восторгам вокруг проверок нарушений неравенства Белла. Огромный массив научных работ и диссертаций по квантовым компьютерам отнюдь не служит доказательство осуществимости того, чем занимаются их авторы. Однако, научное сообщество уже не способно критически оценивать парадигму ЭПР — запутанности, которая стала догмой. На мой взгляд все это — грандиозный миф.

Дмитрий Зотьев  

(С) текст защищен авторским правом 

Copyrighted.com Registered & Protected<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> AACP-XMT1-SWNU-C6PM

Компьютер Бога: 16 комментариев

  1. Cтоит заметить, что эта статья является научной, хотя и написана в научно-популярном стиле. Изложенные здесь выводы опровергают миф о квантовых компьютерах, с которым связан поток научных исследований на десятки миллиардов долларов ежегодно. Огромное заблуждение человечества ))

  2. Не совсем понятно. Вы этой статьей пытатесь опровергать основы достижений фундаментальной науки ?

    Насколько я знаю, обязанность преподавателей (в том числе и проподавателей физики) заключается в обратном. К чему я и стремлюсь в своей работе.

    • А почему такой нагловатый тон? За истинно верующих в ЭПР обиделись? Я этой статьей не пытаюсь, а опровергаю, и не достижения, а заблуждения ученых, растиражированные журналистами. При этом опираюсь именно на фундаментальную науку, о которой вы так пафосно написали. Она называется квантовой механикой. Если есть возражения по существу представленных аргументов, то будьте любезны их сформулировать. Треп вроде того, что вы здесь написали, в дальнейшем будет удаляться. И кстати представьтесь, если собираетесь вести серьезную дискуссию. Плеваться желчью из-под ника лучше в другом месте ))

      P.S. Я не преподаватель физики, а математик.

    • Как следовало ожидать, из комментатора полезло все, чем полна его завистливая душонка. Пришлось заткнуть эту клоаку. Уверен, что тему посетил один из героев статьи http://extremal-mechanics.org/archives/15511. Неугомонная парочка провокаторов мониторит мой сайт круглосуточно и посменно ))

  3. В статье не сказано о том, что знаменитый, квантовый алгоритм Шора разложения (большого) числа на два простых сомножителя, имеющий важное значение для взлома шифров с открытым ключом (описан в параграфе 6 http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf ), НЕ совместим с условием симметрии кубитовых состояний, т.е., физически не может быть реализован. Это следует, например, из нарушения симметрии квантовым преобразованием Фурье, которое играет в алгоритме Шора ключевую роль.

    Таким образом, компания RSA Data Security и все, кто использует ее систему кодирования с открытым ключом (включая Microsoft), могут спать спокойно ))

  4. Представляю, как желчно паясничают по поводу этой статьи мои доброжелатели http://extremal-mechanics.org/archives/15511. А между тем, статья содержит весьма важные идеи, хотя и написана в научно-популярном стиле. Текст уязвим для мелочных придирок не по существу. Уже есть точные формулировки и строгие доказательства большинства утверждений этой статьи, однако пока рано публиковать их в интернете.

    Следующее рассуждение будет доступно для читателей без подготовки в квантовой механике.

    Фотоны, как единая система, должны быть частью общего поля — волнового пакета. Если каждый из фотонов находится в своем поле, и эти однофотонные пакеты разобщены в пространстве, то говорить о возможности их запутать a’priori оснований нет. Однако предположим, что мы каким-то образом запутали эти фотоны до того, как они разлетелись. Поскольку каждый из них пребывает в своем волновом пакете, и в каждый момент времени пакеты находятся в разных местах, то фотоны можно мысленно переставлять между собой в буквальном смысле, перенося из одного пакета в другой. Если, как обычно, их запутанность относится к состояниям поляризации, то ничто не мешает фотонам иметь различные энергии. Тогда мы не можем переставлять их даже умозрительно, поскольку свойства каждого пакета, включая форму, связаны с энергией его фотона. Таким образом, налицо противоречие с требованием симметрии состояний собрания тождественных бозонов (в данном случае фотонов). Это простое, эвристическое рассуждение раскрывает фундаментальные противоречия концепции запутанности в духе ЭПР.

    Квантовая магия — наукообразный бред ))

  5. Показательно, что ни одна из самодовольных посредственностей, которые потешаются над этой статьей на многих ресурсах, не осмеливается опубликовать возражения на моем сайте. Я отнюдь не препятствую вежливым комментариям, однако все, на что хватает «критиков» вроде В.Б. Морозова — это оскорбления на подконтрольных им ресурсах, под одобрительные выкрики толпы невежд. Зайти сюда и вступить в честную, научную дискуссию без личностей, под своим настоящим именем — на это они не способны. По сути возразить во-первых нечего, а во-вторых знаний не хватает. Вот и кривляются по поводу моей скромной персоны )).

  6. Моя статья на сайте ТЕХНОЛОГИИ, ИНЖИНИРИНГ, ИННОВАЦИИ
    http://integral-russia.ru/2017/02/08/kvantovyj-kompyuter-nepredvzyatyj-vzglyad-matematika/
    написанная на основе этой. Похвально, что ее не украли, а честно указали автора, сделав сокращенный репост отсюда https://geektimes.ru/post/285490/. Сразу видно серьезную организацию!

  7. Можно вопрос? А как вообще физически организовывают операции над регистрами? Особенно меня интересует логическая операция P(x).

    • Да никак, поскольку работающих, квантовых регистров не существует. Были эксперименты, в которых пытались эмулировать отдельные операции с малым числом кубитов (<10). Я не вникал в эти опыты. Попробуйте почитать http://ufn.ru/ru/articles/2005/1/a/. На мой взгляд, физической реализации не будет никогда.

  8. И всё-таки над этими квантовыми вычислениями тысячи людей работают. Как то же они решают вопрос с отсутствием необходимой симметрии в регистре?

    • Проблема с симметрией состояний известна, но большинство над ней не задумывается. Те немногие, кто задумываются, в качестве решения предлагают эмуляцию квантовых регистров с помощью пространств Фока. Призрачное утешение. Об этом написано в конце статьи. Но главная проблема не с симметрией, а с парадигмой ЭПР — запутанности вообще. На мой взгляд это — грандиозный миф.

      Тысячи людей занимаются этим, разделяя одни и те же заблуждения. Здесь нет ничего нового. Сотни миллионов верят в Бога, но это не служит доказательством его существования. Идея крайне заманчивая, деньги под нее текут рекой, правдоподобные основания имеются. При этом уровень критичности мышления ученых снизился. Все спешат писать статьи, не тратя время на основы. Поверхностность компьютерной эпохи. И просто людям хочется верить в чудеса http://extremal-mechanics.org/archives/23268. Тем более, что за эту веру хорошо платят.

  9. И еще вопрос насчёт параллелизма. Если на выходе получается один вектор состояния, то о каком параллелизме 2^N может идти речь? В моём понимании параллельное решение это когда на выходе получаются все 2^N решений и все они доступны, как если бы работу выполнили 2^N микропроцессоров. А так получается, что на выходе доступно только одно решение, а для получения остальных нужно запустить систему 2^N раз. И в чём тогда смысл такой параллельности?

    • Хотя для операций поиска наверное достаточно одного ответа на выходе.

    • Хороший вопрос, хотя и не по адресу )) Действительно, все результаты вычисления (если допустить его осуществимость) одновременно недоступны. Это противоречит сути параллелизма. Но представим себе, что массив результатов параллельных вычислений записан на диске по блоку на результат. Тогда их можно обрабатывать только по одному. В случае с квантовым, параллелельным вычислением дело обстоит аналогично, только при каждом считывании результата придется повторять расчет заново. Но поскольку его скорость на много порядков превышает скорость просмотра одиночного результата (для чего потребуется классический компьютер), то экономия времени на вычисления имеет место быть.

      Но вообще-то это не снимает Ваш вопрос полностью. Если квантовый компьютер, допустим, параллельно рассчитает фрагменты распределенного в пространстве процесса, то как их сшить в единую «картинку», не собирая ее из фрагментов словно мозаику? Суперкомпьютеры это умеют делать, поскольку там «картинка» уже есть после расчета и может быть использована дальше целиком. На первый взгляд, который кажется мне правильным, Ваше возражение является весьма существенным.