Жар стратосферы

Пуск Минитмена-3

     Проблема уклонения от противоракет становится все более актуальной по мере того, как российские ядерные силы тают  http://extremal-mechanics.org/archives/13999, а США настойчиво работают над ПРО http://extremal-mechanics.org/archives/3547. В этой статье дан анализ возможности использовать т.н. настильную траекторию, о которой, применительно к ракетам «Тополь-М» и «Ярс», сложилась шапкозакидательская мифология  http://extremal-mechanics.org/archives/142. Мы снова будем моделировать полет боевой части МБР (разделяющейся боеголовки или моноблока), которая в дальнейшем называется БЧ.    

   Активный участок траектории МБР (см. фото), когда последовательно работают моторы трех ступеней, длится 2.5 — 5 минут и обычно заканчивается на высоте 200 — 400 км над Землей. После этого начинается свободный полет БЧ по баллистической кривой, который завершается попаданием в цель. Скорость БЧ в момент освобождения достигает 7 — 7.5 км/сек. В случае ракеты с разделяющимися боеголовками т.н. bus или платформа разведения в течении нескольких минут рассеивает смертоносный груз, выводя каждую БЧ на траекторию полета к своей цели. Апогей H, т.е. максимальная высота траектории над Землей варьируется в диапазоне 750 — 1 200 км.

    Мы смоделируем полет БЧ по баллистической кривой,  который начинается на высоте h=200 км при скорости v_0 и завершается  в точке, которая находится на расстоянии L=10000 км по поверхности Земного шара (от места пересечения с ней отрезка, соединяющего начало кривой с центром Земли). Еще одним параметром, определяющим баллистическую траекторию, является начальный угол тангажа \alpha — угол между вектором \vec v_0 и горизонталью. Заметим, что дальность в 10 000 км достаточна, чтобы поразить любую точку США ракетой, запущенной из глубины территории России. При этом между Москвой и Нью-Йорком всего 7 500 км. 

     Типичное время полета БЧ на межконтинентальную дальность равно 25 — 30 мин. Плюс к этому время разгона на активном участке и минус время выяснения того, куда направились ракеты вероятного противника — получим около пол-часа на то, чтобы спасти правительство, активировать центры военного управления и нанести встречный удар. Однако полетное время БРПЛ может оказаться существенно меньшим в зависимости от того, как близко субмарина смогла подобраться к моменту начала войны.

Компьютерная анимация полета Минитмена-3. На видео активный участок кажется длинным, хотя он измеряется сотнями км. Видно, что БЧ поворачивается перед входом в атмосферу, чтобы войти под правильным углом и не сбиться с курса под действием аэродинамического сопротивления.   

    Чем быстрей БЧ достигнет своей цели, тем выше вероятность успеха при контрсиловом ударе http://extremal-mechanics.org/archives/2574. Уменьшить время полета t_1 по баллистической кривой можно за счет уменьшения начального тангажа  \alpha  и увеличения начальной скорости v_0 . Получится более пологая и короткая траектория (при той же дальности полета), которая считается предпочтительной для преодоления ПРО. Например «Тополю» приписывают настильную траекторию, которая якобы делает БЧ неуязвимой. C чем связана ее «неузявимость»?

     Например разница в скоростях двух БЧ, которые находятся в апогеях 500 и 1100 км — 6.9 и 5.9 км/сек соответственно, вряд ли существенна для наведения ракеты-перехватчика. Более того, достать низко летящую БЧ намного проще. Может быть дело в том, что чем ниже траектория, тем короче дистанция прямой видимости для радаров ПРО? Последняя равна d=\sqrt{2RH+H^2}, где R=6370 км — радиус Земли. На высоте H=1000 км получим d=3700 км, а при H=500 км d=2570 км. Если понизить апогей до H=250 км, то на всей траектории будем иметь d\leq 1800 км — это не так уж мало! Учитывая, что в обнаружении целей для ПРО и наведении перехватчиков участвуют спутники и радары на кораблях, приближение горизонта видимости за счет снижения высоты полета не выглядит критическим фактором. Хотя возможно, что относительно низко летящая БЧ все-таки затрудняет ПРО. Мы не рассматриваем здесь этот вопрос, т.к. сама возможность прижаться к матери Земле выглядит крайне сомнительно. 

    Начнем с классической МБР типа Минитмен-3, апогей которой оценивают в 1100 км. Тогда время баллистического полета на дальность L=10000 км при v_0=7 км/сек и \alpha=17.3 град. составит 30 минут (t_1=1800 сек). Уравнения движения БЧ в поле гравитации Земли выписаны в статье http://extremal-mechanics.org/archives/142, а здесь решается в MathCad система дифф. уравнений, которая получена после понижения порядка. 

    Читатель может без труда провести свои расчеты, скопировав этот рабочий лист. Нужно лишь задать дистанцию до цели L (км) вдоль поверхности Земли и время t_1 (сек) полета БЧ по баллистической траектории. Угол \alpha (град) и скорость v_0 (км/сек), которые дают такую траекторию, будут найдены автоматически и их значения видны внизу листа («уточненный угол тангажа» и «уточненная скорость»). Заметим, что это — точная модель процесса, но без учета аэродинамического сопротивления. Последнее существенно изменит параметры полета только при входе плотные слои атмосферы, что произойдет ниже отметки высоты в 100 км. При этом БЧ претерпевает  такой нагрев, что температура отдельных участков ее поверхности может достигать 7 000 K. Это и есть проблема настильных траекторий, которую мы рассмотрим ниже.

    На следующем рисунке дана недостающая часть расчетов и траектория Минитмен-3. Синяя окружность — Земля в масштабе траектории. Апогей равен 1095 км. Начальная точка траектории (t=0), расположенная на высоте h=200 км, отчетливо видна на оси Х.

    Полет на 10 000 км снятой с вооружения MX «Peacekeeper» предположительно продлился бы 28 минут при v_0=7.1 км/сек, \alpha=13.6 град и с апогеем 860 км. По видимому, существенно более пологие траектории нецелесообразны из-за чрезмерного нагрева при снижении на цель. Однако попробуем смоделировать баллистический полет на 10 000 км с апогеем 500 км, который пока еще нельзя назвать настильным. Он начинается при v_0=7.285 км/сек и \alpha=7.35 град, а время полета составит 25 минут (без активного участка, у MX он длился 3.3 мин). Более точно апогей = 506 км. Эта пологая траектория выглядит так:

    Для оценки аэродинамического нагрева в верхних слоях атмосферы годится формула q=0.5\cdot \rho v^3\cdot\cos\beta, где q — тепловой поток Вт/кв.м, v — скорость, \rho — плотность воздуха, \beta — угол между вектором скорости потока и нормалью к поверхности, которую он обтекает. Для БЧ в форме конуса с углом при вершине 30 град \beta=75 град и

q=0.13\cdot \rho\cdot v^3            (1) 

   Определить плотность атмосферы поможет калькулятор http://www.digitaldutch.com/atmoscalc/. Так на высоте 35 км плотность \rho=0.008, на 30 км \rho=0.018, а на 20 км \rho=0.09 кг/куб.м. Для оценки величины q между отметками 35 и 20 км можно принять в качестве средней \rho=0.02 кг/куб.м. Диапазон высот выбран из соображений применимости формулы (1) (только в разреженной атмосфере). Это — малая часть «воздушной подушки», в которую на скорости выше 7 км/сек врежется БЧ. Однако слоя в 20 - 35 км  достаточно, чтобы оценить аэродинамические эффекты.

    Из (1) при v=7285 м/сек получим тепловой поток в 1 ГВт (!) на кв.м поверхности БЧ. Время снижения с высоты 35 до 20 км составит 13.2 сек, за это время каждый кв.см поверхности получит 1.3 МДж тепла. Этого хватит, чтобы расплавить и испарить вольфрамовую обшивку с толщиной 13 см! При диаметре основания конуса в 1 м такая оболочка весила бы 7.5 тонн, однако вся БЧ «Тополя-М» весит чуть больше тонны. Но самое интересное начнется в тропосфере (ниже 10 км), где плотность воздуха достигнет 0.4 и почти линейно возрастет до 1.2 кг/куб.м у поверхности Земли. Этот этап полета будет длиться 8.6 сек и очевидно, что поток тепла увеличится на порядок. Можно с уверенностью утверждать, что никакая разумная теплозащита, будь то графитовая или керамическая, и в том числе абляционное покрытие не спасет БЧ от чудовищного перегрева. 

    Для траектории Минитмен-3 ситуация с нагревом выглядит менее драматичной. А именно, ниже 10 км БЧ будет находиться 4.3 сек, а время снижения от 35 до 20 км сократилось до 6.6 сек. И все равно при v=7000 м/сек и \rho=0.02 получим из (1) оценку потока тепла в 890 МВт на кв.м поверхности БЧ только на этом участке траектории! Но аэродинамический нагрев начнется выше 50 км и даже там будет настолько серьезным, что за время снижения с 50 до 35 км (6.6 сек) количество тепла на кв.см поверхности превысит 30 КДж. Это — оценка стойкости термически защищенных БЧ от поражения лазерным оружием, которая применялась в СССР при анализе «Звездных войн» (СОИ).

Пучок разделившихся боеголовок проходит через облака.

   Но что позволяет БЧ Минитмена-3 и других «классических» МБР достигать хотя бы границы тропосферы, не сгорая полностью в стратосфере, как метеор? Ответ: аэродинамическое торможение, которое начнется ниже отметки в 100 км. Для этого некоторые БЧ перед входом в атмосферу разворачиваются основанием конуса в направлении полета, а другие имеют затупленные носовые наконечники. В обоих случаях перед БЧ формируется скачок давления, который служит своего рода щитом и препятствует обтеканию потоком, что значительно уменьшает нагрев.

    Но в результате БЧ сбрасывает скорость до примерно 3 км/сек при входе в тропосферу. Из формулы (1) при v=3000 м/сек и \rho=0.02 кг/куб.м получим тепловой поток в 70 МВт на кв.м поверхности БЧ. При такой скорости время снижения с 35 до 20 км составило бы 15.3 сек, так что каждый кв.см поверхности получил бы не меньше 100 КДж тепла. Это очень сильный нагрев, но от него БЧ спасают теплозащитные покрытия из графита, тефлона, углепластика и т.д.. Таким образом, единственным способом избежать судьбы метеора является аэродинамическое торможение БЧ до в 2.5 — 3 раза меньшей скорости (после чего она все равно горит в полете, но успевает сработать).  

      Итак БЧ, имеющая достаточно отвесную траекторию, при входе в плотные слои атмосферы работает в экстремальном режиме с точки зрения аэродинамического нагрева. Самые грозные МБР типа МХ или SS-18 выводят свои боеголовки на траектории с несколько меньшим апогеем (~ 850 км), Однако, как мы видели, пологая траектория с апогеем 500 км почти в два раза увеличивает время пребывания БЧ в плотных слоях атмосферы, чем значительно осложняет  задачу ее тепловой защиты. При этом выигрыш во времени достижения цели на удалении 10 000 км для такой БЧ составит всего лишь 3 минуты, что вряд ли оправдает дополнительные сложности с теплозащитой. При этом следует заметить, что из-за существенно большего времени полета в плотных слоях атмосферы такая БЧ быстрей лишится «свиты» из ложных целей и источников помех, которые отстанут от нее за счет намного меньшей массы. Это облегчит задачу селекции цели для ПРО.

    Что касается настильной траектории «Тополя-М», которая проходит чуть ли не параллельно земной поверхности на высоте 200 — 250 км, то это бред, придуманный журналистами. Предельный случай такой траектории получается  в MathCad-е при начальных скорости v_0=7.65 км/сек и угле тангажа \alpha=0.174 град, и выглядит это вот как:  

      Такой полет на дальность 10 000 км продлится 22 минуты, если аэродинамика не внесет свои коррективы. А она внесет их обязательно! По этой траектории БЧ будет лететь ниже 50 км дольше 3-х минут. Даже если принять плотность \rho=0.001 (как на высоте 50 км), то из формулы (1) за  3 мин получится 1 МДж тепла на кв.см поверхности. На самом деле эта оценка будет на 1 — 2 порядка больше, т.к. плотность воздуха возрастает.

   Вместе с тем ясно, что работа сил трения пойдет на уменьшение кинетической энергии БЧ, большая часть которой трансформируется в тепло. Поэтому можно грубо оценить снижение скорости БЧ за эти 3 минуты, как \Delta v=\sqrt{2Q/m}, где Q — количество тепла. Cчитая площадь боковой поверхности конуса 3 кв.м, получим \Delta v=8 км/сек! Этот результат не точен, но он ясно показывает, что если БЧ не сгорит от аэродинамического трения, то резко снизит скорость и не долетит до цели тысячи километров. Настильная траектория «Тополя-М» — это пропагандистский миф. 

Дмитрий Зотьев

Жар стратосферы: 8 комментариев

  1. Формула (1) для оценки теплового потока не подходит.
    Во-первых, по этой формуле значения получаются завышенными как минимум на порядок даже для изотермической поверхности. Во-вторых, тепловой поток сильно зависит от разницы температур торможения и температуры поверхности. В формуле это никак не отражено. В начальный момент времени он может быть достаточно большим, но по мере нагрева поверхности тела тепловой поток падает еще на порядок/порядки. Может в нуль обратиться, а при снижении скорости (если температура поверхности временно станет выше торможения) даже стать отрицательным, т. е. вместо нагрева будет остывание. Кроме того тепловой поток распределен неравномерно: на хвостике он значительно ниже чем на носике (в нулевой момент времени). Поэтому не нужно всю ракету обшивать тоннами вольфрама, графита и т.д.

    • 1. Я формулу (1) не сам придумал вообще-то, а взял из физической энциклопедии, посмотрите в конце статьи http://femto.com.ua/articles/part_1/0243.html. Формула выражает тепловой поток через скорость аппарата и плотность воздуха при условии ламинарного обтекания разряженным воздухом (в стратосфере).

      2. Тепловой поток всегда пропорционален градиенту температур. Вопрос в том, о каком потоке идет речь? От боеголовки в атмосферу? Если так, то при чем здесь эта формула? Она же описывает аэродинамический нагрев, а не остывание за счет других эффектов (см. ниже). И что такое температура торможения? Формула (1) дает, фактически, мощность сил аэродинамического сопротивления на кв. метр поверхности, а она НЕ зависит от ее температуры.

      3. По поводу остывания при нагреве — сильно преувеличено и, вообше говоря, неверно. Это может быть эффективным только за счет конвекции, но при ламинарном обтекании она незначительна. Дело в том, что касательный к поверхности поток воздуха не столько отводит от нее тепло, сколько нагревает за счет трения. При малой турбулентности конвекция мала. Если боеголовка разворачивается тупым концом конуса или имеет затупленный наконечник (это зависит от конструкции), то нагрев резко снижается за счет появления ударной волны (и турбулентности конечно). На этом же принципе работает теплозащитный экран спускаемых аппаратов космических кораблей («Союз», «Джемини», «Аполлон», статья об этом http://extremal-mechanics.org/archives/20712). Теплопроводность воздуха ничтожна. Инфракрасное же излучение относительно мало, просто посчитайте с помощью закона Стефана-Больцмана.

      4. При ламинарном обтекании греется вся поверхность конуса, носик возможно больше, хотя скорее всего меньше из-за ударной волны перед ним. Что это меняет по существу?

      Итог: при ламинарном обтекании эффекты остывания незначительны по сравнению с аэродинамическоим нагревом. Мои оценки сделаны именно для случая ламинарного обтекания в обоснование того, что боеголовка вынуждена сбрасывать скорость при входе в атмосферу и не способна летать по т.н. настильной траектории. Разумеется, в режиме торможения с ударной волной сжатия данная формула неприменима. Этот факт никак не опровергает мою статью.

      Вместо того, чтобы придумывать скоропалительные возражения, приведите пожалуйста формулу теплового потока, которая по вашему является правильной. Сайт http://femto.com.ua/articles/part_1/0243.html публикует статьи из Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного справочника по физике. Чтобы с ним спорить, нужно иметь более веские основания, чем желание выступить в защиту мифа о настильных траекториях МБР Тополиного семейства.

  2. 1.По указанной ссылке оговаривается, что формула используется для » тел, движущихся в верх. слоях атмосферы, где режим обтекания является свободномолекулярным, т. е. длина свободного пробега молекул газа соизмерима или даже превышает размеры тела». Т.е. когда нет пограничного слоя. Верхние слои атмосферы — это где-то выше 50 км.

    У вас формула (1) применяется для высот 20-35 км и для скоростей выше 7000 м/с (Число Маха около 25). Для 35 км: ro= 0.008, mu = 1,5*10^-5, V=7000 => Re=3 733 333 * L > 1000. Это пограничный слой!
    Для оценки тепловых потоков в таких случаях (в т.ч. 20-35 км) используется формула Фей-Риддела или более простые аналоги. http://engjournal.ru/articles/1243/1243.pdf (5)-(8)

    2. Когда тело обтекается сверх- и гиперзвуковым потоком газа, то около тела газ тормозится и кинетическая энергия переходит в тепловую. Около тела образуется слой очень горячего газа, который начинает нагревать тело. Чем быстрее движется газ, а значит сильнее затормозился, тем больше температура. Максимально возможная температура — это температура торможения газа, когда вся кинетическая энергия перешла в тепловую. Трение — это просто процесс, который способствует переводу кинетической энергии в тепловую. Если кто-нибудь придумает способ нагреть тело значительно сильнее, чем нагретый газ вокруг него, то тело (благодаря отличной скоростной вентиляции) просто передаст тепло этому газу.

    3. Просто представьте, что ракета неслась со скоростью 7000 м/с, нагрелась местами до 3000-4000 К, а потом быстро уменьшила свою скорость, допустим до 0 или 100 м/с или до 1000 м/с и т.д. Из-за чего она будет нагреваться? Она начнет остывать, потому что вокруг нее газ менее нагретый, чем сама ракета.

    4. В начальный момент времени, когда температура по всему телу одинакова, и при ламинарном сверхзвуковом движении тела, максимум теплового потока находится в носике ракеты. Это дают все формулы, которые естественно получены с учетом ударных волн. В дальнейшем все зависит от температуры поверхности и есть или нет разрушения, разложения материала и т.д. В силу этого, к разным частям ракеты подход должен быть разным.

    • Вы пытаетесь оспорить мою статью, однако не даете своих числовых оценок. Такого рода критика допустима лишь в том случае, когда ошибки грубы и очевидны. Вы ни одной такой не обнаружили. Просто цепляетесь ко всему, в чем видите повод прицепиться. Безотносительно к тому, насколько ваши возражения существенны. Это — не критика, а критиканство.

      1. В статье есть оговорка о том, что формула (1) применяется в разряженной атмосфере. На какой именно высоте — не уточнял. Понятно, что на высотах 20 — 35 ее применимость под вопросом, но и на 50 км вопрос остается. На 30 и 50 км длина свободного пробега составляет доли миллиметра, а на 80 км «аж целых» 1 — 2 см. Во всех этих случаях говорить о сравнимости с размерами боеголовки не приходится.

      Условие свободномолекулярности обтекания нужно для того, чтобы исключить образование ударных волн. В статье рассматривался случай, когда боеголовка входит в атмосферу острием конуса, следуя пологой или мифологической, настильной траектории. Тогда на высотах 20 и 50 км обтекание можно считать ламинарным в том смысле, что НЕ формируются ударные волны, которые поглощали бы значительную долю кинетической энергии. Именно такой режим обтекания я назвал ламинарным (уж простите великодушно не специалиста в аэродинамике!).

      По поводу ламинарного или турбулентного пограничного слоя — в такие тонкости я не вдавался. Но в контексте образования ударных волн роль тонкого, пограничного слоя явно незначительна http://mash-xxl.info/page/164228253133233226061051139239184149193042050153/,
      На мой взгляд, то же касается конвективного теплоотвода.

      Но если принять во внимание турбулентный пограничный слой, то, как известно, аэродинамический нагрев будет на 2 порядка больше по сравнению с ламинарным слоем. Таким образом, описанная в статье картина не станет менее драматичной с точки зрения теплового режима боеголовки.

      Ваша оценка для числа Рейнольдса Re полностью бессодержательна, т.к. неравенство Re > 1000 выполнялось бы даже при скорости v=7 м/сек! (Re={v\rho L}/{\mu}). Кроме того, число 1 000 не будет критическим значением. При обтекании тел воздушным потоком критические Re выражаются в сотнях тысяч.

      Наивно думать, что формула, применимая на высоте 50 км, категорически не может быть применена при возрастании плотности воздуха в 8 раз (35 км). Тем более, что речь идет о грубых оценках, а не точных расчетах. .

      Что касается формулы Фей-Риддела и статьи, которую Вы указали, то я заглянул туда, не поленился. Статья и эта формула посвящены теплообмену в критических точках сферы. В моей статье речь где-то шла о сфере? В исходной статье Фей-Риделла 1959 года рассматривалось обтекание затупленного носового наконечника. Точно такой имели тогдашние МБР «Атлас». Таким образом, в рассмотренной мною задаче данная формула едва ли применима вместе с ее «более простыми аналогами».

      Вам стоило сделать альтернативный расчет по формуле Фей-Риделла вместо того, чтобы с умным видом тыкать пальцем в статью, которую вы, похоже, внимательно не просмотрели.

      2. Согласен, вначале нагревается слой воздуха, который затем нагревает обшивку. Движение молекул воздуха хаотизируется от почти упругих столкновений с поверхностью (в системе отсчета боеголовки), что означает преобразование кинетической энергии в тепло. Но что это меняет по существу? Ведь поток тепла пропорционален градиенту температуры. Это означает, что за счет нагревания обшивки до максимальной температуры средний поток тепла уменьшится в 2 раза (грубо). Поскольку мои оценки относятся в основном к порядкам величин, по сути ничего не изменится.

      3. Я не рассматривал ситуацию, когда боеголовка затормозила до 1 000 м/сек.

      4. Из сказанного вами следует, что поток тепла через носик нужно считать отдельно. Считайте, если вам угодно. Но его доля в общем потоке через поверхность конической боеголовки будет незначительной.

      Естественно, что мои оценки весьма приблизительны, в статье этот факт не скрывается. Вам лень сделать хоть какие-то оценки, при этом вы требуете от меня написать диссертацию о тепловом режиме полета боеголовки МБР )) Если вы — технически грамотный человек, что выглядит правдоподобно, то должны бы понимать такие вещи.

      В следующий раз прошу вас дать свои оценки теплового потока, если желаете и дальше возражать. Я не хочу тратить на ответы больше времени, чем вы на свои придирки. И вообще — смотрите пожалуйста в корень статьи! Вам хочется верить в ура-патриотические глупости о том, что БЧ «тополя», «ярса» и прочих летают по настильной траектории, еще и маневрируя при этом? Тогда потрудитесь сделать обоснованные, числовые оценки. Или не отнимайте мое время, если вам жалко своего ))

  3. афтор, таки значит БЧ минитмена действуют иные законы физики ?

    ведь время пролета через атмосферу у него незначительно отличается,
    ну а если БЧ минитмена может тормозить — то и БЧ тополя может тормозить, не так ли ?
    иначе все БЧ тополя успарялись бы нахрен, если верить утверждениям афтора.

    советую так же обратить внимание на предположения что траектория
    могет быть комбинированной, пологой на активном участке и отвесной и какой угодно на .
    среднем и конечном.

    • А я вам советую подтянуть русский язык, внимательней читать статьи, которые пытаетесь критиковать, и больше не писать глупостей.