Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики | Экстремальная механика / Extremal mechanics

Треки частиц в пузырьковой камере

На этом, в целом научно-популярном сайте встречаются статьи, которые у читателя без физ-мат образования могут вызвать затруднения (например http://extremal-mechanics.org/archives/2112). С данной публикацией дело обстоит еще хуже — она предполагает знакомство с квантовой механикой на уровне университетского курса (которое, впрочем, обычно является весьма поверхностным). Популярные сведения о ней, сводящиеся к формуле Планка $E=h\nu$ и представлению об уровнях энергии атома, а также «квантовых скачках», для понимания этой статьи недостаточны. С другой стороны она поможет тем читателям, которые хотят разобраться в квантовой механике и готовы потратить на это время. Стоит предупредить их о том, что математическая изощренность данной науки (далее КМ) превосходит все остальные разделы физики, включая общую теорию относительности.

Последнее обстоятельство прямо связано с тем, что привычные для физиков изложения КМ, оперирующие дельта-функцией Дирака $\delta(x)$ , кажутся выпускникам мех-матов возмутительно нестрогими. В самом деле, утверждения вроде того, что скалярное (точней эрмитово) произведение векторов состояния $|\psi_{x'}(x)\rangle$ и $|\psi_{x''}(x)\rangle$

$\langle\psi_{x'}|\psi_{x''}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*_{x'}(x)\psi_{x''}(x)dx=\int\psi^*_{x'}(x)\psi_{x''}(x)dx=\delta(x'-x'')$ (1)

где $\delta(x)=0$ при всех $x\in{\mathbb R}^n\setminus\{0\}$ , но $\int \delta(x)=1$ (!), способны вызвать когнитивный диссонанс у правоверных математиков. Хотя теория обобщенных функций нашла место для «несобственной» дельта-функции Дирака, равенство (1) как бы числа и сингулярной обобщенной функции все же нуждается в формальных пояснениях.

Сразу после выхода в свет исходной версии книги [1] в 1930, которая подвела итог созданию КМ, такие пояснения были невозможны — теория обобщенных функций возникла лишь в 60-х. Поэтому блестящий математик Джон фон Нейман решительно взялся за «очищение» КМ от дельта-функции $\delta(x)$ , выпустив в 1932 книгу [3]. Cегодня она считается каноническим и абсолютно строгим изложением КМ. Из предисловия:

«Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики (на момент издания) с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только cуществованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему.»

Фон Нейман «погрузил» КМ в функциональный анализ, приняв активное участие в его создании. Получилась математически безупречная, но технически громоздкая теория, которая далека от смелых и красивых рассуждений Дирака и Гейзенберга. Обычно рядом с ними вспоминают Йордана. Нильс Бор, конечно, был основоположником этой т.н. копенгагенской КМ. Вкратце теория фон Неймана состоит в следующем.

Вместилищем волновых функций $\psi(q)$ считается гильбертово пространство ${\cal H}=L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)$ функций с интегрируемым по Лебегу на ${\mathbb R}^n$ квадратом модуля. Здесь $q\in{\mathbb R}^n$ и $n$ — число пространственных степеней свободы данной квантовой системы. Любые две функции из $L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)$ , отличающиеся лишь на множестве меры ноль, считаются равными элементами пространства ${\cal H}$ . Эрмитово произведение $\langle\varphi|\psi\rangle=\int\varphi^*(q)\psi(q)dq$ .

Каждой физической величине $r$ данной квантовой системы соответствует эрмитов оператор $R:{\cal D}_R\to{\cal H}$ (также обозначаемый $\hat r$ ), заданный на некотором всюду плотном в ${\cal H}$ подмножестве ${\cal D}_R\subset\cal H$ . Оператор $R$ должен быть замкнутым, что означает следующее: для любого $\varphi\in\cal H$ и любой последовательности $\varphi_k\in{\cal D}_R$ , сходящейся к $\varphi$ , существование предела $\lim_{k\to\infty}R(\varphi_k)=\psi$ влечет $\psi=R(\varphi)$ . Непрерывный оператор $R:{\cal D}_R\to{\cal H}$ является замкнутым в том и только том случае, когда ${\cal D}_R=\cal H$ . Также предполагается, что область определения $R$ не может быть расширена с сохранением свойств эрмитовости и замкнутости оператора. Такой оператор $R$ называется максимальным [3].

Примерами максимальных (эрмитовых и замкнутых), но не непрерывных операторов являются операторы координат $\hat q_j$ и импульсов $\hat p_j$ (где $j=1,\ldots, n$ ), действующие обычным образом

$\hat q_j\bigl(\psi(q)\bigr)=q_j\psi(q)$ $\hat p_j\bigl(\psi(q)\bigr)=-i\hbar\partial\psi/\partial q_j$ (2)

на те функции $\psi\in\cal H$ , которые после операций (2) остаются в $L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)$ (для применимости $\hat p_j$ функция $\psi(q)$ должна быть почти всюду дифференцируемой по $q_j$ ). При этом области определения данных операторов, изначально не замкнутых, стандартным образом расширяются до таких, на которых они становятся замкнутыми и максимальными (подробности в [3]).

Двинемся дальше за фон Нейманом в заросли функционального анализа. Проектором называется такой непрерывный эрмитов оператор $E:{\cal H}\to\cal H$ , что $E^2=E$ . Фактически это — оператор ортогональной проекции на некоторое замкнутое подпространство $Im(E)\subset\cal H$ ( $Im$ означает образ оператора). Разбиением единицы, принадлежащим эрмитову оператору $R$ , называется отображение $E$ числовой оси ${\mathbb R}$ в множество проекторов. Для каждого $\lambda\in{\mathbb R}$ соответствующий проектор обозначается $E(\lambda)$ .

При этом для всех $\lambda'\leq \lambda''$ должно быть $Im(E(\lambda'))\subset Im(E(\lambda''))$ . В этом случае оператор $E(\lambda'')-E(\lambda')$ является проектором на ортогональное дополнение $Im(E(\lambda'))$ до $Im(E(\lambda''))$ . Требуется, чтобы $\lim_{\lambda\to-\infty}E(\lambda)=0$ и $\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=I$ (тождественный оператор), а также $\forall\lambda_0$ $\lim_{\lambda\to \lambda_0+0}E(\lambda)=E(\lambda_0)$ (непрерывность справа). Еще одно условие заключается в том, что для любых $f,g\in{\cal H}$ имеет место:

$\langle R(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int \lambda dh_{f,g}(\lambda)$ (3)

где интеграл считается по Стилтьесу и $h_{f,g}(\lambda)=\langle E(\lambda)(f)|g\rangle$ — комплекснозначная функция от $\lambda\in\mathbb R$ , определяемая параметрами $f,g$ . Выражение (3) называется спектральным разложением (эрмитова) оператора $R$ .

Известно, что для каждого непрерывного эрмитова оператора $R$ cуществует единственное разложение единицы $E(\lambda)$ c вышеуказаными свойствами. В этом заключается спектральная теорема, впервые доказанная Гильбертом. Что касается замкнутых эрмитовых операторов $R$ , не являющихся непрерывными и, таким образом, определенных на всюду плотных подмножествах ${\cal D}_R\subset\cal H$ , то о них известно лишь одно. Если такой оператор является максимальным (см. выше), то принадлежащее ему разбиение единицы $E$ не существует или существует и тогда оно единственно [3].

Единственность имеет принципиальное значение для того, чтобы спектральное разложение (3) имело физический смысл. Но вопрос о его существовании является, вообще говоря, открытым. Впрочем, для важнейших максимальных операторов $\hat q_j$ и $\hat p_j$ , не являющихся непрерывными, разложения единицы построены явным образом [3]. Максимальные операторы, для которых разбиение единицы существует фон Нейман назвал гипермаксимальными.

Ключевая гипотеза, связывающая весь этот функан с физикой, теперь выглядит так. Каждой физической величине $r$ данной квантовой системы соответствует гипермаксимальный эрмитов оператор $R:{\cal D}_R\to{\cal H}$ , заданный на некотором всюду плотном в ${\cal H}$ подмножестве ${\cal D}_R\subset\cal H$ . Спектральное разложение (3) является основой для всех вычислений, связанных с величиной $r$ . Прежде всего определим ее возможные значения.

Спектром гипермаксимального оператора $R$ со спектральным разложением (3) называется множество тех точек $\lambda\in\mathbb R$ , ни в какой окрестности которых оператор-функция $\lambda'\longmapsto E(\lambda')$ не является постоянной. Таким образом спектр — замкнутое множество и каждый интеграл (3) вычисляется de’facto не по всей числовой оси, а только по спектру $R$ . Гипотеза о соответствии оператора $R$ физической величине $r$ уточняется утверждением о том, что ее всевозможные значения составляют спектр $R$ [3].

При этом собственные значения $\lambda$ оператора $R$ определяются, как обычно — через равенство $R(f)=\lambda f$ при $f\neq 0$ . Собственными значениями являются те и только те точки $\lambda\in\mathbb R$ , в которых оператор-функция $E(\lambda)$ имеет разрыв. Последнее означает, что $\lim_{\lambda'\to\lambda-0}E(\lambda')\neq E(\lambda)$ . Тогда все собственные векторы со значением $\lambda$ составляют замкнутое подпространство в $H$ , которое является ортогональным дополнением подпространства $\lim_{\lambda'\to\lambda-0}Im(E(\lambda'))$ до $Im(E(\lambda))$ . Множество собственных значений может быть пустым (например, у операторов координат и импульсов), конечным или счетным. Других вариантов нет.

Для физической интерпретации своей теории фон Нейман ввел еще 2 постулата. Первый состоит в том, что любой вещественной функции $F(r)$ от физической величины $r$ соответствует гипермаксимальный оператор $F(R)$ . Тогда из (3) следует, что для любых $f,g\in{\cal H}$ имеет место:

$\langle F(R)(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda) d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int F(\lambda) dh_{f,g}(\lambda)$

Второй постулат утверждает, что мат. ожидание величины $r$ в произвольном состоянии $\psi(q)$ равно $\langle R(\psi)|\psi\rangle$ (в силу эрмитовости $R$ это число вещественно). Точно такая аксиома есть в [1] и [2], но Дирак обозначает $\langle R(\psi)|\psi\rangle$ как $\langle \psi|R|\psi\rangle$ . Из этих двух предположений фон Нейман выводит принципиально важное утверждение.

Пусть дан набор физических величин $r_1,\ldots,r_m$ с коммутирующими между собой операторами $R_1,\ldots, R_m$ . Обозначим $E_j$ разбиение единицы, принадлежащее $R_j$ . Пусть $\lambda'_j\leq \lambda''_j$ для всех $j=1,\ldots,m$ и $P_\psi(\lambda',\lambda'')$ есть вероятность того, что в состоянии данной квантовой системы с волновой функцией $\psi(q)$ каждая величина $r_j$ принимает значение из полуинтервала $(\lambda'_j;\lambda''_j]$ . Тогда

$P_\psi(\lambda';\lambda'')=\langle E_1(\lambda'_1;\lambda''_1)E_2(\lambda'_2;\lambda''_2)\ldots E_m(\lambda'_m;\lambda''_m)(\psi)|\psi\rangle$

где $E_j(\lambda'_j; \lambda''_j)=E_j(\lambda''_j)-E_j(\lambda'_j)$ (попарно коммутирующие проекторы). Отсюда, в частности, следует интерпретация Борна волновой функции $\psi(q)$ , согласно которой $|\psi(q)|^2$ есть плотность распределения случайных величин $q_1,\ldots,q_n$ (пространственных координат в данной системе).

Возможен случай, когда спектр состоит только из собственных значений. Тогда он не более, чем счетный. Примером служит оператор энергии $H$ (гамильтониан). В таком случае из (3) следует, что любой вектор $\psi\in\cal H$ разлагается по собственным векторам: $\psi=\sum_k \psi_k$ , где $R(\psi_k)=\lambda_k\psi_k$ . Данный факт имеет фундаментальное значение в КМ, но для его доказательства не нужно разбиение единицы. Описанные выше, математические ухищрения понадобились фон Нейману для того, чтобы строго описать случай континуального спектра, во исполнение чего изгнать из КМ дельта-функцию вместе со следующим утверждением Дирака (которое с ней неразрывно связано).

Если множество собственных значений эрмитова оператора $R$ непрерывно, то всякий вектор состояния $|\psi\rangle$ выражается в виде интеграла по спектру: $|\psi\rangle=\int |\psi_{\lambda}\rangle d\lambda$ , где $R(|\psi_{\lambda}\rangle)=\lambda|\psi_{\lambda}\rangle$ . Спектром оператора в книге [1] называется множество его собственных значений (вне всякой связи с разложением единицы).

Если убрать бра-кет обозначения Дирака и применить данное утверждение к функциям $\psi, \psi_\lambda$ из гильбертова пространства $\cal H$ , то оно станет ложным. Но в качестве пространства состояний квантовой системы Дирак, в действительности, рассматривал множество ${\cal D}'({\mathbb R}^n)$ обобщенных функций на ${\mathbb R}^n$ , которое содержит $\cal H$ в качестве подпространства. А в ${\cal D}'({\mathbb R}^n)$ разложение в интеграл от собственных векторов по непрерывному спектру из собственных значений в смысле Дирака может иметь место. Более того — в пространстве обобщенных функций не существует проблемы определенности эрмитовых операторов не всюду, которой фон Нейман посвятил много усилий. Подробности будут описаны в дальнейшем.

Таким образом, фон Нейман изгонял из КМ дельта-функцию напрасно. Возможно, хотя я не вполне в этом уверен, что основанная на спектральной теореме КМ не потеряла ничего по существу. Но она стала технически очень громоздкой! Чтобы почувствовать разницу достаточно сравнить изящные рассуждения Дирака в [1], связанные с излучением, поглощением и рассеиванием фотонов, с тем, как теория излучения излагается в [3]. Нет никаких сомнений в том, что на пути, который фон Нейман избрал для наведения математического порядка в квантовой механике, она бы не была открыта никогда. При этом порядок присутствовал в ней изначально. Просто гениальный Дирак намного опередил развитие математики, введя в обращение «несобственную» функцию $\delta(x)$ [1].

Для понимания дальнейшего материала весьма желательно владеть понятием обобщенной функции на уровне книги [4]. Для этого достаточно прочитать в ней параграфы 5 — 9. Будет показано, что КМ может быть вполне строго изложена на исходном языке Дирака, в силу чего она не нуждается в теории фон Неймана. Весь остальной материал изложен в тексте http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/10/QM.pdf

1. П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, 1960, М.: Физматгиз.

2. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, 1932, М.: ГТТИ.

3. Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.

4. В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.:Наука, 1988.

Автор: д.ф.-м.н. Дмитрий Зотьев

Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики: 7 комментариев

Kapeks говорит 13/11/2017 в 02:34:

Для тех кто ничего не понял: читайте книгу Поля Дирака [1]. Она великолепна. Вы поймёте, что такое квантовая физика. Особенно легко будет тем, кто знает линейную алгебру.

Ответить ↓
- Space Odyssey говорит 13/11/2017 в 02:48:
  
  Да, Вы правы, это — потрясающая книга! Хотя насчет того, что «будет легко» я не уверен )) Если бы господа физики и особенно математики, увлеченные темой квантовых вычислений, внимательно читали эту книгу, то они бы более трезво относились к сказкам об ЭПР — запутанности, телепортации и прочих чудесах http://extremal-mechanics.org/archives/23268.
Кот Котельный говорит 08/09/2019 в 23:20:

Ещё одна жертва несостоявшегося высшего образования.
Чего они сюда лезут-то так настырно?

В Питерском университете есть именно матмех, а не мехмат. Может, туда товарищу направиться, по второму кругу?

Ответить ↓
Анатоль говорит 03/05/2020 в 07:55:

Не думаю, что каждой физической величине соответствует гипермакмимальный эрмитоа оператор. И еще мехмат или матмех от перестановки мест суть не меняется. Раньше был физмат

Ответить ↓
- Space Odyssey говорит 03/05/2020 в 17:47:
  
  Нет, есть только один правильный факультет — МЕХМАТ ))
- Ростислав говорит 11/05/2020 в 20:36:
  
  Правильно матмех, т.к. мех .- все-таки предикатор, т.е. идеальное первично перед материальным, как абстрактное перед конкретным. Этот вывод следует из новой научной парадигмы.
- gloriar говорит 11/05/2020 в 20:42:
  
  Immerchin richtig ist МАТМЕХ

Поделиться ссылкой:

Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики: 7 комментариев