Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики

Треки частиц в пузырьковой камере

     На этом, в целом научно-популярном сайте встречаются статьи, которые у читателя без физ-мат образования могут вызвать затруднения (например http://extremal-mechanics.org/archives/2112). С данной публикацией дело обстоит еще хуже — она предполагает знакомство с квантовой механикой на уровне университетского курса (которое, впрочем, обычно является весьма поверхностным). Популярные сведения о ней, сводящиеся к формуле Планка E=h\nu и представлению об уровнях энергии атома, а также «квантовых скачках», для понимания этой статьи недостаточны. С другой стороны она поможет тем читателям, которые хотят разобраться в квантовой механике и готовы потратить на это время. Стоит предупредить их о том, что математическая изощренность данной науки  (далее КМ) превосходит все остальные разделы физики, включая общую теорию относительности.

   Последнее обстоятельство прямо связано с тем, что привычные для физиков изложения КМ, оперирующие дельта-функцией Дирака \delta(x), кажутся  выпускникам мех-матов возмутительно нестрогими. В самом деле, утверждения вроде того, что скалярное  (точней эрмитово)  произведение векторов состояния |\psi_{x'}(x)\rangle и |\psi_{x''}(x)\rangle  

                        \langle\psi_{x'}|\psi_{x''}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*_{x'}(x)\psi_{x''}(x)dx=\int\psi^*_{x'}(x)\psi_{x''}(x)dx=\delta(x'-x'')                        (1) 

где \delta(x)=0 при всех x\in{\mathbb R}^n\setminus\{0\}, но \int \delta(x)=1  (!), способны вызвать когнитивный диссонанс у правоверных математиков. Хотя теория обобщенных функций нашла место для «несобственной» дельта-функции Дирака, равенство (1) как бы числа и сингулярной обобщенной функции все же нуждается в формальных пояснениях.   

    Сразу после выхода в свет исходной версии книги [1] в 1930, которая подвела итог созданию КМ, такие пояснения были невозможны — теория обобщенных функций возникла лишь в 60-х. Поэтому блестящий математик Джон фон Нейман решительно взялся за «очищение» КМ от дельта-функции \delta(x), выпустив в 1932 книгу [3]. Cегодня она считается каноническим и абсолютно строгим изложением КМ.  Из предисловия:

 «Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики (на момент издания) с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только cуществованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему

     Фон Нейман «погрузил» КМ в функциональный анализ, приняв активное участие в его создании. Получилась математически безупречная, но технически громоздкая теория, которая далека от смелых и красивых рассуждений Дирака и Гейзенберга. Обычно рядом с ними вспоминают Йордана. Нильс Бор, конечно, был основоположником этой т.н. копенгагенской КМ. Вкратце теория фон Неймана состоит в следующем.

    Вместилищем волновых функций \psi(q) считается гильбертово пространство {\cal H}=L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C) функций с интегрируемым по Лебегу на  {\mathbb R}^n квадратом модуля. Здесь  q\in{\mathbb R}^n и n — число пространственных степеней свободы данной квантовой системы. Любые две функции из L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C), отличающиеся лишь на множестве меры ноль, считаются равными элементами пространства {\cal H}. Эрмитово произведение \langle\varphi|\psi\rangle=\int\varphi^*(q)\psi(q)dq.

    Каждой физической величине r данной квантовой системы соответствует эрмитов оператор R:{\cal D}_R\to{\cal H} (также обозначаемый \hat r), заданный на некотором всюду плотном в  {\cal H} подмножестве  {\cal D}_R\subset\cal H. Оператор R должен быть замкнутым, что означает следующее: для любого \varphi\in\cal H и любой последовательности \varphi_k\in{\cal D}_R, сходящейся к \varphi, существование предела \lim_{k\to\infty}R(\varphi_k)=\psi влечет \psi=R(\varphi). Непрерывный оператор R:{\cal D}_R\to{\cal H} является замкнутым в том и только том случае, когда {\cal D}_R=\cal H. Также предполагается, что область определения R не может быть расширена с сохранением свойств эрмитовости и замкнутости оператора. Такой оператор R называется максимальным [3]. 

     Примерами максимальных (эрмитовых и замкнутых), но не непрерывных операторов являются операторы координат \hat q_j и импульсов \hat p_j (где j=1,\ldots, n), действующие обычным образом  

                                                    \hat q_j\bigl(\psi(q)\bigr)=q_j\psi(q)        \hat p_j\bigl(\psi(q)\bigr)=-i\hbar\partial\psi/\partial q_j                             (2)

на те функции \psi\in\cal H, которые после операций (2) остаются в L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C) (для применимости \hat p_j функция \psi(q) должна быть почти всюду дифференцируемой по q_j). При этом области определения данных операторов, изначально не замкнутых, стандартным образом расширяются до таких, на которых они становятся замкнутыми и максимальными (подробности в [3]).  

     Двинемся дальше за фон Нейманом в заросли функционального анализа. Проектором называется такой непрерывный эрмитов оператор E:{\cal H}\to\cal H, что E^2=E. Фактически это — оператор ортогональной проекции на некоторое замкнутое подпространство Im(E)\subset\cal H (Im означает образ оператора). Разбиением единицы, принадлежащим эрмитову оператору R, называется отображение E числовой оси {\mathbb R} в множество проекторов. Для каждого \lambda\in{\mathbb R} соответствующий проектор обозначается E(\lambda)

    При этом для всех \lambda'\leq \lambda'' должно быть Im(E(\lambda'))\subset Im(E(\lambda'')). В этом случае оператор E(\lambda'')-E(\lambda') является проектором на ортогональное дополнение Im(E(\lambda')) до Im(E(\lambda'')). Требуется, чтобы \lim_{\lambda\to-\infty}E(\lambda)=0 и \lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=I (тождественный оператор), а также \forall\lambda_0 \lim_{\lambda\to \lambda_0+0}E(\lambda)=E(\lambda_0) (непрерывность справа). Еще одно условие заключается в том, что для любых f,g\in{\cal H} имеет место:

                                                  \langle R(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int \lambda dh_{f,g}(\lambda)                                (3)

где интеграл считается по Стилтьесу и h_{f,g}(\lambda)=\langle E(\lambda)(f)|g\rangle комплекснозначная функция от \lambda\in\mathbb R, определяемая параметрами f,g. Выражение (3) называется спектральным разложением (эрмитова) оператора R.

    Известно, что для каждого непрерывного эрмитова оператора R cуществует единственное разложение единицы E(\lambda) c вышеуказаными свойствами. В этом заключается спектральная теорема, впервые доказанная Гильбертом. Что касается замкнутых эрмитовых операторов R, не являющихся непрерывными и, таким образом, определенных на всюду плотных подмножествах {\cal D}_R\subset\cal H, то о них известно лишь одно. Если такой оператор является максимальным (см. выше), то принадлежащее ему разбиение единицы E не существует или существует и тогда оно единственно [3]. 

    Единственность имеет принципиальное значение для того, чтобы спектральное разложение (3) имело физический смысл. Но вопрос о его существовании является, вообще говоря, открытым. Впрочем, для важнейших максимальных операторов \hat q_j и \hat p_j, не являющихся непрерывными, разложения единицы построены явным образом [3]. Максимальные операторы, для которых разбиение единицы существует фон Нейман назвал гипермаксимальными. 

     Ключевая гипотеза, связывающая весь этот функан с физикой, теперь выглядит так. Каждой физической величине r данной квантовой системы соответствует гипермаксимальный эрмитов оператор R:{\cal D}_R\to{\cal H}, заданный на некотором всюду плотном в  {\cal H} подмножестве  {\cal D}_R\subset\cal H. Спектральное разложение (3) является основой для всех вычислений, связанных с величиной r. Прежде всего определим ее возможные значения.

    Спектром гипермаксимального оператора R со спектральным разложением (3) называется множество тех точек \lambda\in\mathbb R, ни в какой окрестности которых оператор-функция \lambda'\longmapsto E(\lambda') не является постоянной. Таким образом спектр — замкнутое множество и каждый интеграл (3) вычисляется de’facto не по всей числовой оси, а только по спектру R. Гипотеза о соответствии оператора R физической величине r уточняется утверждением о том, что ее всевозможные значения составляют спектр R [3]. 

      При этом собственные значения \lambda оператора R определяются, как обычно — через равенство R(f)=\lambda f при f\neq 0. Собственными значениями являются те и только те точки \lambda\in\mathbb R, в которых оператор-функция E(\lambda) имеет разрыв. Последнее означает, что \lim_{\lambda'\to\lambda-0}E(\lambda')\neq E(\lambda). Тогда все собственные векторы со значением \lambda составляют замкнутое подпространство в H, которое является ортогональным дополнением подпространства \lim_{\lambda'\to\lambda-0}Im(E(\lambda')) до Im(E(\lambda)). Множество собственных значений может быть пустым (например, у операторов координат и импульсов), конечным или счетным. Других вариантов нет.  

      Для физической интерпретации своей теории фон Нейман ввел еще 2 постулата. Первый состоит в том, что любой вещественной функции F(r) от физической величины r соответствует гипермаксимальный оператор F(R). Тогда из (3) следует, что для любых f,g\in{\cal H} имеет место:

\langle F(R)(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda) d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int F(\lambda) dh_{f,g}(\lambda)

Второй постулат утверждает, что мат. ожидание величины r в произвольном состоянии \psi(q) равно \langle R(\psi)|\psi\rangle (в силу эрмитовости R это число вещественно). Точно такая аксиома есть в [1] и [2], но Дирак обозначает \langle R(\psi)|\psi\rangle как \langle \psi|R|\psi\rangle. Из этих двух предположений фон Нейман выводит принципиально важное утверждение.

     Пусть дан набор физических величин r_1,\ldots,r_m с коммутирующими между собой операторами R_1,\ldots, R_m. Обозначим E_j разбиение единицы, принадлежащее R_j. Пусть \lambda'_j\leq \lambda''_j для всех j=1,\ldots,m и P_\psi(\lambda',\lambda'') есть вероятность того, что в состоянии данной квантовой системы с волновой функцией \psi(q) каждая величина r_j принимает значение из полуинтервала (\lambda'_j;\lambda''_j]. Тогда 

P_\psi(\lambda';\lambda'')=\langle E_1(\lambda'_1;\lambda''_1)E_2(\lambda'_2;\lambda''_2)\ldots E_m(\lambda'_m;\lambda''_m)(\psi)|\psi\rangle 

 где E_j(\lambda'_j; \lambda''_j)=E_j(\lambda''_j)-E_j(\lambda'_j) (попарно коммутирующие проекторы). Отсюда, в частности, следует интерпретация Борна волновой функции \psi(q), согласно которой |\psi(q)|^2 есть плотность распределения случайных величин q_1,\ldots,q_n (пространственных координат в данной системе). 

    Возможен случай, когда спектр состоит только из собственных значений. Тогда он не более, чем счетный. Примером служит оператор энергии H (гамильтониан). В таком случае из (3) следует, что любой вектор \psi\in\cal H разлагается по собственным векторам:  \psi=\sum_k \psi_k, где R(\psi_k)=\lambda_k\psi_k. Данный факт имеет фундаментальное значение в КМ, но для его доказательства не нужно разбиение единицы. Описанные выше, математические ухищрения понадобились фон Нейману для того, чтобы строго описать случай континуального спектра, во исполнение чего изгнать из КМ дельта-функцию вместе со следующим утверждением Дирака (которое с ней неразрывно связано).

       Если множество собственных значений эрмитова оператора R непрерывно, то всякий вектор состояния |\psi\rangle выражается в виде интеграла по спектру: |\psi\rangle=\int |\psi_{\lambda}\rangle d\lambda где R(|\psi_{\lambda}\rangle)=\lambda|\psi_{\lambda}\rangle. Спектром оператора в книге [1] называется множество его собственных значений (вне всякой связи с разложением единицы). 

    Если убрать бра-кет обозначения Дирака и применить данное утверждение к функциям \psi, \psi_\lambda  из гильбертова пространства \cal H, то оно станет ложным. Но в качестве пространства состояний квантовой системы Дирак, в действительности, рассматривал множество {\cal D}'({\mathbb R}^n)  обобщенных функций на {\mathbb R}^n, которое содержит  \cal H в качестве подпространства. А в {\cal D}'({\mathbb R}^n) разложение в интеграл от собственных векторов по непрерывному спектру из собственных значений в смысле Дирака может иметь место. Более того — в пространстве обобщенных функций не существует проблемы определенности эрмитовых операторов не всюду, которой фон Нейман посвятил много усилий. Подробности будут описаны в дальнейшем.  

    Таким образом, фон Нейман изгонял из КМ дельта-функцию напрасно. Возможно, хотя я не вполне в этом уверен, что основанная на спектральной теореме КМ не потеряла ничего по существу. Но она стала технически очень громоздкой! Чтобы почувствовать разницу достаточно сравнить изящные рассуждения Дирака в [1], связанные с излучением, поглощением и рассеиванием фотонов, с тем, как теория излучения излагается в [3]. Нет никаких сомнений в том, что на пути, который фон Нейман избрал для наведения математического порядка в квантовой механике, она бы не была открыта никогда. При этом порядок присутствовал в ней изначально. Просто гениальный Дирак намного опередил развитие математики, введя в обращение «несобственную» функцию \delta(x) [1]. 

   Для понимания дальнейшего материала весьма желательно владеть понятием обобщенной функции на уровне книги [4]. Для этого достаточно прочитать в ней параграфы 5 — 9.  Будет показано, что КМ может быть вполне строго изложена на исходном языке Дирака, в силу чего она не нуждается в теории фон Неймана. Весь остальной материал изложен в тексте http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/10/QM.pdf

1. П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, 1960, М.: Физматгиз. 

2. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, 1932, М.: ГТТИ. 

3. Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.

4.  В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.:Наука, 1988.

Автор: д.ф.-м.н. Дмитрий Зотьев

Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики: 2 комментария

  1. Для тех кто ничего не понял: читайте книгу Поля Дирака [1]. Она великолепна. Вы поймёте, что такое квантовая физика. Особенно легко будет тем, кто знает линейную алгебру.

    • Да, Вы правы, это — потрясающая книга! Хотя насчет того, что «будет легко» я не уверен )) Если бы господа физики и особенно математики, увлеченные темой квантовых вычислений, внимательно читали эту книгу, то они бы более трезво относились к сказкам об ЭПР — запутанности, телепортации и прочих чудесах http://extremal-mechanics.org/archives/23268.