Треки частиц в пузырьковой камере
На этом, в целом научно-популярном сайте встречаются статьи, которые у читателя без физ-мат образования могут вызвать затруднения (например http://extremal-mechanics.org/archives/2112). С данной публикацией дело обстоит еще хуже — она предполагает знакомство с квантовой механикой на уровне университетского курса (которое, впрочем, обычно является весьма поверхностным). Популярные сведения о ней, сводящиеся к формуле Планка и представлению об уровнях энергии атома, а также «квантовых скачках», для понимания этой статьи недостаточны. С другой стороны она поможет тем читателям, которые хотят разобраться в квантовой механике и готовы потратить на это время. Стоит предупредить их о том, что математическая изощренность данной науки (далее КМ) превосходит все остальные разделы физики, включая общую теорию относительности.
Последнее обстоятельство прямо связано с тем, что привычные для физиков изложения КМ, оперирующие дельта-функцией Дирака , кажутся выпускникам мех-матов возмутительно нестрогими. В самом деле, утверждения вроде того, что скалярное (точней эрмитово) произведение векторов состояния
и
(1)
где при всех
, но
(!), способны вызвать когнитивный диссонанс у правоверных математиков. Хотя теория обобщенных функций нашла место для «несобственной» дельта-функции Дирака, равенство (1) как бы числа и сингулярной обобщенной функции все же нуждается в формальных пояснениях.
Сразу после выхода в свет исходной версии книги [1] в 1930, которая подвела итог созданию КМ, такие пояснения были невозможны — теория обобщенных функций возникла лишь в 60-х. Поэтому блестящий математик Джон фон Нейман решительно взялся за «очищение» КМ от дельта-функции , выпустив в 1932 книгу [3]. Cегодня она считается каноническим и абсолютно строгим изложением КМ. Из предисловия:
«Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики (на момент издания) с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только cуществованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему.»
Фон Нейман «погрузил» КМ в функциональный анализ, приняв активное участие в его создании. Получилась математически безупречная, но технически громоздкая теория, которая далека от смелых и красивых рассуждений Дирака и Гейзенберга. Обычно рядом с ними вспоминают Йордана. Нильс Бор, конечно, был основоположником этой т.н. копенгагенской КМ. Вкратце теория фон Неймана состоит в следующем.
Вместилищем волновых функций считается гильбертово пространство
функций с интегрируемым по Лебегу на
квадратом модуля. Здесь
и
— число пространственных степеней свободы данной квантовой системы. Любые две функции из
, отличающиеся лишь на множестве меры ноль, считаются равными элементами пространства
. Эрмитово произведение
.
Каждой физической величине данной квантовой системы соответствует эрмитов оператор
(также обозначаемый
), заданный на некотором всюду плотном в
подмножестве
. Оператор
должен быть замкнутым, что означает следующее: для любого
и любой последовательности
, сходящейся к
, существование предела
влечет
. Непрерывный оператор
является замкнутым в том и только том случае, когда
. Также предполагается, что область определения
не может быть расширена с сохранением свойств эрмитовости и замкнутости оператора. Такой оператор
называется максимальным [3].
Примерами максимальных (эрмитовых и замкнутых), но не непрерывных операторов являются операторы координат и импульсов
(где
), действующие обычным образом
(2)
на те функции , которые после операций (2) остаются в
(для применимости
функция
должна быть почти всюду дифференцируемой по
). При этом области определения данных операторов, изначально не замкнутых, стандартным образом расширяются до таких, на которых они становятся замкнутыми и максимальными (подробности в [3]).
Двинемся дальше за фон Нейманом в заросли функционального анализа. Проектором называется такой непрерывный эрмитов оператор , что
. Фактически это — оператор ортогональной проекции на некоторое замкнутое подпространство
(
означает образ оператора). Разбиением единицы, принадлежащим эрмитову оператору
, называется отображение
числовой оси
в множество проекторов. Для каждого
соответствующий проектор обозначается
.
При этом для всех должно быть
. В этом случае оператор
является проектором на ортогональное дополнение
до
. Требуется, чтобы
и
(тождественный оператор), а также
(непрерывность справа). Еще одно условие заключается в том, что для любых
имеет место:
(3)
где интеграл считается по Стилтьесу и — комплекснозначная функция от
, определяемая параметрами
. Выражение (3) называется спектральным разложением (эрмитова) оператора
.
Известно, что для каждого непрерывного эрмитова оператора cуществует единственное разложение единицы
c вышеуказаными свойствами. В этом заключается спектральная теорема, впервые доказанная Гильбертом. Что касается замкнутых эрмитовых операторов
, не являющихся непрерывными и, таким образом, определенных на всюду плотных подмножествах
, то о них известно лишь одно. Если такой оператор является максимальным (см. выше), то принадлежащее ему разбиение единицы
не существует или существует и тогда оно единственно [3].
Единственность имеет принципиальное значение для того, чтобы спектральное разложение (3) имело физический смысл. Но вопрос о его существовании является, вообще говоря, открытым. Впрочем, для важнейших максимальных операторов и
, не являющихся непрерывными, разложения единицы построены явным образом [3]. Максимальные операторы, для которых разбиение единицы существует фон Нейман назвал гипермаксимальными.
Ключевая гипотеза, связывающая весь этот функан с физикой, теперь выглядит так. Каждой физической величине данной квантовой системы соответствует гипермаксимальный эрмитов оператор
, заданный на некотором всюду плотном в
подмножестве
. Спектральное разложение (3) является основой для всех вычислений, связанных с величиной
. Прежде всего определим ее возможные значения.
Спектром гипермаксимального оператора со спектральным разложением (3) называется множество тех точек
, ни в какой окрестности которых оператор-функция
не является постоянной. Таким образом спектр — замкнутое множество и каждый интеграл (3) вычисляется de’facto не по всей числовой оси, а только по спектру
. Гипотеза о соответствии оператора
физической величине
уточняется утверждением о том, что ее всевозможные значения составляют спектр
[3].
При этом собственные значения оператора
определяются, как обычно — через равенство
при
. Собственными значениями являются те и только те точки
, в которых оператор-функция
имеет разрыв. Последнее означает, что
. Тогда все собственные векторы со значением
составляют замкнутое подпространство в
, которое является ортогональным дополнением подпространства
до
. Множество собственных значений может быть пустым (например, у операторов координат и импульсов), конечным или счетным. Других вариантов нет.
Для физической интерпретации своей теории фон Нейман ввел еще 2 постулата. Первый состоит в том, что любой вещественной функции от физической величины
соответствует гипермаксимальный оператор
. Тогда из (3) следует, что для любых
имеет место:
Второй постулат утверждает, что мат. ожидание величины в произвольном состоянии
равно
(в силу эрмитовости
это число вещественно). Точно такая аксиома есть в [1] и [2], но Дирак обозначает
как
. Из этих двух предположений фон Нейман выводит принципиально важное утверждение.
Пусть дан набор физических величин с коммутирующими между собой операторами
. Обозначим
разбиение единицы, принадлежащее
. Пусть
для всех
и
есть вероятность того, что в состоянии данной квантовой системы с волновой функцией
каждая величина
принимает значение из полуинтервала
. Тогда
где (попарно коммутирующие проекторы). Отсюда, в частности, следует интерпретация Борна волновой функции
, согласно которой
есть плотность распределения случайных величин
(пространственных координат в данной системе).
Возможен случай, когда спектр состоит только из собственных значений. Тогда он не более, чем счетный. Примером служит оператор энергии (гамильтониан). В таком случае из (3) следует, что любой вектор
разлагается по собственным векторам:
, где
. Данный факт имеет фундаментальное значение в КМ, но для его доказательства не нужно разбиение единицы. Описанные выше, математические ухищрения понадобились фон Нейману для того, чтобы строго описать случай континуального спектра, во исполнение чего изгнать из КМ дельта-функцию вместе со следующим утверждением Дирака (которое с ней неразрывно связано).
Если множество собственных значений эрмитова оператора непрерывно, то всякий вектор состояния
выражается в виде интеграла по спектру:
, где
. Спектром оператора в книге [1] называется множество его собственных значений (вне всякой связи с разложением единицы).
Если убрать бра-кет обозначения Дирака и применить данное утверждение к функциям из гильбертова пространства
, то оно станет ложным. Но в качестве пространства состояний квантовой системы Дирак, в действительности, рассматривал множество
обобщенных функций на
, которое содержит
в качестве подпространства. А в
разложение в интеграл от собственных векторов по непрерывному спектру из собственных значений в смысле Дирака может иметь место. Более того — в пространстве обобщенных функций не существует проблемы определенности эрмитовых операторов не всюду, которой фон Нейман посвятил много усилий. Подробности будут описаны в дальнейшем.
Таким образом, фон Нейман изгонял из КМ дельта-функцию напрасно. Возможно, хотя я не вполне в этом уверен, что основанная на спектральной теореме КМ не потеряла ничего по существу. Но она стала технически очень громоздкой! Чтобы почувствовать разницу достаточно сравнить изящные рассуждения Дирака в [1], связанные с излучением, поглощением и рассеиванием фотонов, с тем, как теория излучения излагается в [3]. Нет никаких сомнений в том, что на пути, который фон Нейман избрал для наведения математического порядка в квантовой механике, она бы не была открыта никогда. При этом порядок присутствовал в ней изначально. Просто гениальный Дирак намного опередил развитие математики, введя в обращение «несобственную» функцию [1].
Для понимания дальнейшего материала весьма желательно владеть понятием обобщенной функции на уровне книги [4]. Для этого достаточно прочитать в ней параграфы 5 — 9. Будет показано, что КМ может быть вполне строго изложена на исходном языке Дирака, в силу чего она не нуждается в теории фон Неймана. Весь остальной материал изложен в тексте http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/10/QM.pdf
1. П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, 1960, М.: Физматгиз.
2. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, 1932, М.: ГТТИ.
3. Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.
4. В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.:Наука, 1988.
Автор: д.ф.-м.н. Дмитрий Зотьев
Для тех кто ничего не понял: читайте книгу Поля Дирака [1]. Она великолепна. Вы поймёте, что такое квантовая физика. Особенно легко будет тем, кто знает линейную алгебру.
Да, Вы правы, это — потрясающая книга! Хотя насчет того, что «будет легко» я не уверен )) Если бы господа физики и особенно математики, увлеченные темой квантовых вычислений, внимательно читали эту книгу, то они бы более трезво относились к сказкам об ЭПР — запутанности, телепортации и прочих чудесах http://extremal-mechanics.org/archives/23268.
Ещё одна жертва несостоявшегося высшего образования.
Чего они сюда лезут-то так настырно?
В Питерском университете есть именно матмех, а не мехмат. Может, туда товарищу направиться, по второму кругу?
Не думаю, что каждой физической величине соответствует гипермакмимальный эрмитоа оператор. И еще мехмат или матмех от перестановки мест суть не меняется. Раньше был физмат
Нет, есть только один правильный факультет — МЕХМАТ ))
Правильно матмех, т.к. мех .- все-таки предикатор, т.е. идеальное первично перед материальным, как абстрактное перед конкретным. Этот вывод следует из новой научной парадигмы.
Immerchin richtig ist МАТМЕХ