Принцип Гюйгенса — Френеля, на котором основана дифракционная парадигма, формально не вытекает из волновых уравнений и часто противоречит электродинамике. Квантовая механика не добавляет к этому ничего, хотя принято считать, что дифракционная расходимость одиночного фотона обусловлена принципом Гейзенберга. Вероятно следует расширить представления о дифракции, которые давно стали окостеневшей догмой. Помимо фундаментального интереса, вопрос имеет принципиальное значение для разработки рентгеновского лазера с накачкой ядерным взрывом (NEPXL), как эффективного космического оружия.
Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр возмущения, порождающего вторичные сферические волны. При этом в каждой точке пространства результирующее поле определяется интерференцией вторичных волн. Для краткости будем говорить о свете, имея ввиду любые электромагнитные волны.
Вопрос о применимости принципа Гюйгенса — Френеля к распространению света имеет важное практическое значение, поскольку из него вытекает дифракционное ограничение на угол расходимости лазерных пучков где
— длина волны и
— диаметр апертуры (выходного отверстия лазера).
Справедливость принципа очевидна в ситуации, когда свет распространяется в рассеивающей среде (например в стекле). Тогда любая микрочастица среды становится источником вторичных волн. Это хорошо иллюстрирует описание одного из первых опытов с дифракцией. «С изумительной изобретательностью и мастерством Френель ставит опыты по дифракции света. Он получает светящуюся яркую точку с помощью «весьма выпуклой линзы», в качестве которой он «использовал шарик меда, помещенный на небольшом отверстии, сделанном в медном листе». В данном случае мед послужил средой, в которой распространяются и интерферируют вторичные световые волны.
Однако, причина появления вторичных волн в вакууме отнюдь не очевидна. В процессе распространения света поле, в котором возбуждаются колебания, возникает вместе с приходящей волной. Поэтому аналогия с волнами на воде, которые происходят в «уже готовой» среде, является не вполне корректной. Существование эфира решило бы этот вопрос, но опыты Майкельсона-Морли поставили крест на гипотезе Гюйгенса еще в начале XX века.
Прямые вычисления, с которыми можно ознакомиться здесь http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2013/04/выкладки.pdf, позволяют сделать следующий вывод. Принцип Гюйгенса — Френеля не вытекает из уравнений Максвелла. Более того, он не адекватен процессу распространение электромагнитного поля в вакууме или слабо рассеивающей среде.
Скалярная теория Кирхгофа, которая считается доказательством обратного, подтверждает принцип Гюйгенса — Френеля только в том случае, когда его справедливость и так не вызывает сомнений. А именно, для световой волны в рассеивающей среде ! Cогласно этой теории, если какая-то компонента поля имеет вид с частотой
, то комплексная амплитуда
выражается интегралом
(1)
по произвольной, замкнутой поверхности , окружающей точку
. Здесь
— волновое число. Если на бесконечности выполняются условия Зоммерфельда, а именно
и
, (2)
то поверхность можно считать считать незамкнутой и натянутой, как пленка на апертуру лазера. Она также может быть расположена где угодно на пути светового луча, так что он проходит через
на пути к точке
. Тогда, пренебрегая величиной
, из (1) получается формула
,
где — проекция элемента
на плоскость, перпендикулярную вектору
. Отсюда следует принцип Гюйгенса — Френеля, если в качестве
взять передний волновой фронт (положение которого зафиксировано).
Однако легко проверить, что условия (2) не выполняются в вакууме. В самом деле, пусть — это амплитуда напряженности электрической компоненты поля. Тогда модуль вектора Пойнтинга (поток энергии) пропорционален
. Очевидно, что поток энергии поля обратно пропорционален
. Следовательно
обратно пропорционально
, что не совместимо с первым из условий (2). Оно может выполняться только в том случае, когда поле рассеивается средой, чего в вакууме не бывает.
Все это означает, что принцип Гюйгенса — Френеля является дополнительным постулатом по отношению к классической теории электромагнитного поля. Естественно возникает вопрос: в каких случаях он адекватен реальности, а когда дает ошибочные прогнозы ? Частичный, однако принципиальный ответ будет таким: в вакууме прогнозы, основанные на принципе Гюйгенса — Френеля, почти всегда являются ложными. В частности распространение света в пустоте, само по себе, не сопровождается дифракцией. Разумеется это не означает, что в вакууме не может наблюдаться дифракция от краев апертур, щелей, экранов и т.д.. И лазерный пучок, который дифрагировал в процессе отражений от зеркал резонатора, останется гауссовым с углом расходимости .
Квантово—механическим обоснованием догмата дифракции считается принцип неопределенности Гейзенберга, из которого формально получается оценка для угла расходимости фотона. Однако применимость этого принципа к фотонам не находит оснований, если не принимать его в качестве еще одного постулата. В самом деле, доказательство принципа Гейзенберга существенно использует структуру функции
, как волнового пакета, а также наличие у частицы представления Шредингера. В рамках которого
и возникает, как представитель вектора состояния. Это означает, что частицу можно описывать как с помощью импульса
, так и пространственных координат
(добавляя переменные для других степеней свободы, например спин).
Но у фотона нет представления Шредингера, поэтому нет и волновой функции . Состояние кванта определяется импульсом и поляризацией, но не декартовыми координатами
! Непонимание этой особенности фотонов, которую отмечал еще Пол Дирак («Принципы квантовой механики»), породило миф о квантовой запутанности (http://extremal-mechanics.org/archives/726 + http://extremal-mechanics.org/archives/1138). Таким образом, в случае фотона доказательство принципа Гейзенберга не работает.
В отношении местоположения кванта можно только утверждать, что он локализован в некоторой области с объемом . Отсюда не следует принцип неопределенности, т.к. произведение
может быть большим, а оба числа
и
малыми по сравнению с константой Планка
. Разумно предположить, например, что
.
Рассмотрим одиночный фотон из пучка, генерируемого в плазменной среде длиной и диаметром
. Пусть OX — ее продольная ось. Предположим, что фотон возникает в процессе излучения, индуцированного другим квантом, и в дальнейшем не испытывает рассеивания. Вектор состояния фотона
раскладывается по собственным векторам оператора Гамильтона. Поскольку в стационарном состоянии любой квант имеет определенный импульс
, эти векторы являются собственными для наблюдаемых
. Для сокращения формул поляризацию учитывать не будем. Тогда векторы вида
образуют полный набор. Здесь используются обозначения Дирака: буквы для операторов, те же буквы со штрихами для их собственных значений и собственных векторов. Считая представление и вектор
нормированными, получим:
и среднее значение
в состоянии равно
(3)
Можно пренебречь стационарными состояниями, в которых условие (4) не выполняется. Дело в том, что соответствующие фотоны составляет малую часть тех, которые родились в процессе индуцированного излучения. Поэтому полагаем, что
(4)
В силу нормированости вектора имеем
. Тогда из (3) и (4) следует
(5)
Согласно (5) проекция импульса фотона на ось OY в среднем такова, что угол отклонения от оси OX не превышает . Следовательно, основная часть энергии излучается в угол
, что и требуется.
Таким образом лазерное излучение пучка фотонов, вообще говоря, не обязано сопровождаться значительной дифракционной расходимостью с углом . Все зависит от того, насколько значительным является рассеивание пучка средой, в которой он излучается и/или распространяется. Исходя из этого можно допустить, что, при определенных условиях, эффективный угол расходимости определяется формулой
, где
— диаметр и
— длина активной среды.
При изучении данной проблемы, была рассмотрена генерация наносекундного импульса излучения с длиной волны 1.4 нм и энергией ~100 КДж, которая наблюдалась в ходе испытания Dauphin рентгеновского лазера с накачкой ядерным взрывом (1981). На этой основе получены оценки процесса излучения в плазменной нити, содержащей водородоподобные ионы цинка при плотности плазмы ~0.01 от плотности исходного металла и температуре ~30 млн. К. Оказалось, что все виды рассеивания в такой активной среде, томпсоновское, комптоновское и т.н. bremmsrtrahlung, являются незначительными. При отсутствии системы фокусировки это означает, что рентгеновский импульс не претерпевает существенного рассеивания в процессе генерации. А также, очевидно, и при распространении в вакууме. Следовательно, для применения дифракционного догмата оснований нет.
По-видимому, для рентгеновских пучков из NEPXL можно отказаться от формулы в пользу
, если плотность плазменной нити на 2 — 3 порядка ниже, чем у твердого тела. Тогда, при длине активной среды 2 м и диаметре 20 мкр, эффективный угол расходимости
рад, что на порядок ниже дифракционного предела. Это означает на два порядка больший поток энергии на поверхность мишени, чем, как принято думать, способен обеспечить рентгеновский лазер с накачкой ядерным взрывом (при тех же параметрах активной среды). Однако для реализации NEPXL, как эффективного оружия, одного этого еще не достаточно.
Дмитрий Зотьев
Статьи о NEPXL: http://extremal-mechanics.org/archives/75, http://extremal-mechanics.org/archives/85, http://extremal-mechanics.org/archives/2939, http://extremal-mechanics.org/archives/2723.
Статья на ту же тему, опубликованая в журнале АЭЭ: http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2013/10/66-70ЗотьевNew1.pdf