3 D в одном: дифракция, дисперсия, догматика

Принцип Гюйгенса — Френеля, на котором основана дифракционная парадигма, формально не вытекает из волновых уравнений и часто противоречит электродинамике. Квантовая механика не добавляет к этому ничего, хотя принято считать, что дифракционная расходимость одиночного фотона обусловлена принципом Гейзенберга. Вероятно следует расширить представления о дифракции, которые давно стали окостеневшей догмой. Помимо фундаментального интереса, вопрос имеет принципиальное значение для разработки рентгеновского лазера с накачкой ядерным взрывом (NEPXL), как эффективного космического оружия.

Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр возмущения, порождающего вторичные сферические волны. При этом в каждой точке пространства результирующее поле определяется интерференцией вторичных волн. Для краткости будем говорить о свете, имея ввиду любые электромагнитные волны.

Вопрос о применимости принципа Гюйгенса — Френеля к распространению света имеет важное практическое значение, поскольку из него вытекает дифракционное ограничение на угол расходимости лазерных пучков $\alpha \sim \lambda /D$ где $\lambda$ — длина волны и $D$ — диаметр апертуры (выходного отверстия лазера).

Справедливость принципа очевидна в ситуации, когда свет распространяется в рассеивающей среде (например в стекле). Тогда любая микрочастица среды становится источником вторичных волн. Это хорошо иллюстрирует описание одного из первых опытов с дифракцией. «С изумительной изобретательностью и мастерством Френель ставит опыты по дифракции света. Он получает светящуюся яркую точку с помощью «весьма выпуклой линзы», в качестве которой он «использовал шарик меда, помещенный на небольшом отверстии, сделанном в медном листе». В данном случае мед послужил средой, в которой распространяются и интерферируют вторичные световые волны.

Однако, причина появления вторичных волн в вакууме отнюдь не очевидна. В процессе распространения света поле, в котором возбуждаются колебания, возникает вместе с приходящей волной. Поэтому аналогия с волнами на воде, которые происходят в «уже готовой» среде, является не вполне корректной. Существование эфира решило бы этот вопрос, но опыты Майкельсона-Морли поставили крест на гипотезе Гюйгенса еще в начале XX века.

Прямые вычисления, с которыми можно ознакомиться здесь http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2013/04/выкладки.pdf, позволяют сделать следующий вывод. Принцип Гюйгенса — Френеля не вытекает из уравнений Максвелла. Более того, он не адекватен процессу распространение электромагнитного поля в вакууме или слабо рассеивающей среде.

Скалярная теория Кирхгофа, которая считается доказательством обратного, подтверждает принцип Гюйгенса — Френеля только в том случае, когда его справедливость и так не вызывает сомнений. А именно, для световой волны в рассеивающей среде ! Cогласно этой теории, если какая-то компонента поля имеет вид $Re(u({\bf r})e^{-i\omega t})$ с частотой $\omega=const$ , то комплексная амплитуда $u({\bf r})$ выражается интегралом

$u({\bf r})=\frac{1}{4\pi}\iint_S(u({\bf r}')\frac{\partial}{\partial {\bf n}}\frac{e^{ik|{\bf r}-{\bf r}'|}}{|{\bf r}-{\bf r}'|}-\frac{e^{ik|{\bf r}-{\bf r}'|}}{|{\bf r}-{\bf r}'|}\frac{\partial u({\bf r}')}{\partial {\bf n}})dS({\bf r}')$ (1)

по произвольной, замкнутой поверхности $S$ , окружающей точку ${\bf r}$ . Здесь $k=\omega/c$ — волновое число. Если на бесконечности выполняются условия Зоммерфельда, а именно

$\lim_{r\to \infty}r u({\bf r})=0$ и $\lim_{r\to \infty}r \frac{\partial u}{\partial r}=0$ , (2)

то поверхность $S$ можно считать считать незамкнутой и натянутой, как пленка на апертуру лазера. Она также может быть расположена где угодно на пути светового луча, так что он проходит через $S$ на пути к точке ${\bf r}$ . Тогда, пренебрегая величиной $|{\bf r}-{\bf r}'|^{-2}$ , из (1) получается формула

$u({\bf r})=\frac{ik}{4\pi}\iint_S u({\bf r}')\frac{e^{ik|{\bf r}-{\bf r}'|}}{|{\bf r}-{\bf r}'|}dS_n({\bf r}')$ ,

где $dS_n({\bf r}')$ — проекция элемента $dS({\bf r}')$ на плоскость, перпендикулярную вектору ${\bf r}'-{\bf r}$ . Отсюда следует принцип Гюйгенса — Френеля, если в качестве $S$ взять передний волновой фронт (положение которого зафиксировано).

Однако легко проверить, что условия (2) не выполняются в вакууме. В самом деле, пусть $|Re(u)|$ — это амплитуда напряженности электрической компоненты поля. Тогда модуль вектора Пойнтинга (поток энергии) пропорционален $|Re(u)|^2$ . Очевидно, что поток энергии поля обратно пропорционален $r^{2}$ . Следовательно $Re(u)$ обратно пропорционально $r$ , что не совместимо с первым из условий (2). Оно может выполняться только в том случае, когда поле рассеивается средой, чего в вакууме не бывает.

Все это означает, что принцип Гюйгенса — Френеля является дополнительным постулатом по отношению к классической теории электромагнитного поля. Естественно возникает вопрос: в каких случаях он адекватен реальности, а когда дает ошибочные прогнозы ? Частичный, однако принципиальный ответ будет таким: в вакууме прогнозы, основанные на принципе Гюйгенса — Френеля, почти всегда являются ложными. В частности распространение света в пустоте, само по себе, не сопровождается дифракцией. Разумеется это не означает, что в вакууме не может наблюдаться дифракция от краев апертур, щелей, экранов и т.д.. И лазерный пучок, который дифрагировал в процессе отражений от зеркал резонатора, останется гауссовым с углом расходимости $\lambda/(\pi D)$ .

Квантово—механическим обоснованием догмата дифракции считается принцип неопределенности Гейзенберга, из которого формально получается оценка $\alpha \sim \lambda /D$ для угла расходимости фотона. Однако применимость этого принципа к фотонам не находит оснований, если не принимать его в качестве еще одного постулата. В самом деле, доказательство принципа Гейзенберга существенно использует структуру функции $\Psi(q)$ , как волнового пакета, а также наличие у частицы представления Шредингера. В рамках которого $\Psi(q)$ и возникает, как представитель вектора состояния. Это означает, что частицу можно описывать как с помощью импульса $p=(p_x, p_y, p_z)$ , так и пространственных координат $q=(x, y, z)$ (добавляя переменные для других степеней свободы, например спин).

Но у фотона нет представления Шредингера, поэтому нет и волновой функции $\Psi(q)$ . Состояние кванта определяется импульсом и поляризацией, но не декартовыми координатами $q$ ! Непонимание этой особенности фотонов, которую отмечал еще Пол Дирак («Принципы квантовой механики»), породило миф о квантовой запутанности (http://extremal-mechanics.org/archives/726 + http://extremal-mechanics.org/archives/1138). Таким образом, в случае фотона доказательство принципа Гейзенберга не работает.

В отношении местоположения кванта можно только утверждать, что он локализован в некоторой области с объемом $h^3\cdot(\Delta p_x \Delta p_y \Delta p_z)^{-1}$ . Отсюда не следует принцип неопределенности, т.к. произведение $\Delta p_x \Delta x$ может быть большим, а оба числа $\Delta p_y \Delta y$ и $\Delta p_z \Delta z$ малыми по сравнению с константой Планка $h$ . Разумно предположить, например, что $\Delta x/ \Delta y=\Delta x/ \Delta z=l/D >> 1$ .

Рассмотрим одиночный фотон из пучка, генерируемого в плазменной среде длиной $l$ и диаметром $D$ . Пусть OX — ее продольная ось. Предположим, что фотон возникает в процессе излучения, индуцированного другим квантом, и в дальнейшем не испытывает рассеивания. Вектор состояния фотона $|P>$ раскладывается по собственным векторам оператора Гамильтона. Поскольку в стационарном состоянии любой квант имеет определенный импульс $\vec p$ , эти векторы являются собственными для наблюдаемых $p_x$ $p_y$ $p_z$ . Для сокращения формул поляризацию учитывать не будем. Тогда векторы вида $|p_x' p_y' p_z' >$ образуют полный набор. Здесь используются обозначения Дирака: буквы для операторов, те же буквы со штрихами для их собственных значений и собственных векторов. Считая представление и вектор $|P>$ нормированными, получим:

$|P> =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}c(p_x' p_y' p_z' )\cdot |p_x' p_y' p_z' > dp_x' dp_y' dp_z'$ и среднее значение $p_y$

в состоянии $|P>$ равно $\overline p_y=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}p_y'\cdot|c(p_x' p_y' p_z' )|^2 dp_x' dp_y' dp_z'$ (3)

Можно пренебречь стационарными состояниями, в которых условие (4) не выполняется. Дело в том, что соответствующие фотоны составляет малую часть тех, которые родились в процессе индуцированного излучения. Поэтому полагаем, что

$\frac{\Delta p_y'}{p'}\leq \frac{D}{l}$ (4)

В силу нормированости вектора $|P>$ имеем $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}|c(p_x' p_y' p_z' )|^2 dp_x' dp_y' dp_z'=1$ . Тогда из (3) и (4) следует

$-\frac{D}{l}\leq \frac{\overline p_y}{p}\leq \frac{D}{l}$ (5)

Согласно (5) проекция импульса фотона на ось OY в среднем такова, что угол отклонения от оси OX не превышает $D/l$ . Следовательно, основная часть энергии излучается в угол $\alpha\sim D/l$ , что и требуется.

Таким образом лазерное излучение пучка фотонов, вообще говоря, не обязано сопровождаться значительной дифракционной расходимостью с углом $\alpha \sim \lambda /D$ . Все зависит от того, насколько значительным является рассеивание пучка средой, в которой он излучается и/или распространяется. Исходя из этого можно допустить, что, при определенных условиях, эффективный угол расходимости определяется формулой $\alpha \sim D/l$ , где $D$ — диаметр и $l$ — длина активной среды.

При изучении данной проблемы, была рассмотрена генерация наносекундного импульса излучения с длиной волны 1.4 нм и энергией ~100 КДж, которая наблюдалась в ходе испытания Dauphin рентгеновского лазера с накачкой ядерным взрывом (1981). На этой основе получены оценки процесса излучения в плазменной нити, содержащей водородоподобные ионы цинка при плотности плазмы ~0.01 от плотности исходного металла и температуре ~30 млн. К. Оказалось, что все виды рассеивания в такой активной среде, томпсоновское, комптоновское и т.н. bremmsrtrahlung, являются незначительными. При отсутствии системы фокусировки это означает, что рентгеновский импульс не претерпевает существенного рассеивания в процессе генерации. А также, очевидно, и при распространении в вакууме. Следовательно, для применения дифракционного догмата оснований нет.

По-видимому, для рентгеновских пучков из NEPXL можно отказаться от формулы $\alpha \sim \lambda /D$ в пользу $\alpha \sim D/l$ , если плотность плазменной нити на 2 — 3 порядка ниже, чем у твердого тела. Тогда, при длине активной среды 2 м и диаметре 20 мкр, эффективный угол расходимости $\alpha \sim 10^{-5}$ рад, что на порядок ниже дифракционного предела. Это означает на два порядка больший поток энергии на поверхность мишени, чем, как принято думать, способен обеспечить рентгеновский лазер с накачкой ядерным взрывом (при тех же параметрах активной среды). Однако для реализации NEPXL, как эффективного оружия, одного этого еще не достаточно.

Дмитрий Зотьев

Статьи о NEPXL: http://extremal-mechanics.org/archives/75, http://extremal-mechanics.org/archives/85, http://extremal-mechanics.org/archives/2939, http://extremal-mechanics.org/archives/2723.

Владелец и создатель сайта Дмитрий Зотьев

3 D в одном: дифракция, дисперсия, догматика: Один комментарий

Поделиться ссылкой:

3 D в одном: дифракция, дисперсия, догматика: Один комментарий