Треки частиц в пузырьковой камере

     На этом, в целом научно-популярном сайте встречаются статьи, которые у читателя без физ-мат образования могут вызвать затруднения. С данной публикацией дело обстоит еще хуже — она предполагает знакомство с квантовой механикой на уровне университетского курса (которое, впрочем, обычно является весьма поверхностным). Популярные сведения о ней, сводящиеся к формуле Планка \(E=h\nu\) и представлению об уровнях энергии атома, а также «квантовых скачках», для понимания этой статьи недостаточны. С другой стороны она поможет тем читателям, которые хотят разобраться в квантовой механике и готовы потратить на это время. Стоит предупредить их о том, что математическая изощренность данной науки  (далее КМ) превосходит все остальные разделы физики, включая общую теорию относительности.

   Последнее обстоятельство прямо связано с тем, что привычные для физиков изложения КМ, оперирующие дельта-функцией Дирака \(\delta(x)\), кажутся  выпускникам мех-матов возмутительно нестрогими. В самом деле, утверждения вроде того, что скалярное  (точней эрмитово)  произведение векторов состояния \(|\psi_{x’}(x)\rangle\) и \(|\psi_{x»}(x)\rangle\)  

                        \(\langle\psi_{x’}|\psi_{x»}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*_{x’}(x)\psi_{x»}(x)dx=\int\psi^*_{x’}(x)\psi_{x»}(x)dx=\delta(x’-x»)\)                        (1) 

где \(\delta(x)=0\) при всех \(x\in{\mathbb R}^n\setminus\{0\}\), но \(\int \delta(x)=1\)  (!), способны вызвать когнитивный диссонанс у правоверных математиков. Хотя теория обобщенных функций нашла место для «несобственной» дельта-функции Дирака, равенство (1) как бы числа и сингулярной обобщенной функции все же нуждается в формальных пояснениях.   

    Сразу после выхода в свет исходной версии книги [1] в 1930, которая подвела итог созданию КМ, такие пояснения были невозможны — теория обобщенных функций возникла лишь в 60-х. Поэтому блестящий математик Джон фон Нейман решительно взялся за «очищение» КМ от дельта-функции \(\delta(x)\), выпустив в 1932 книгу [3]. Cегодня она считается каноническим и абсолютно строгим изложением КМ.  Из предисловия:

 «Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики (на момент издания) с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только cуществованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему.»

     Фон Нейман «погрузил» КМ в функциональный анализ, приняв активное участие в его создании. Получилась математически безупречная, но технически громоздкая теория, которая далека от смелых и красивых рассуждений Дирака и Гейзенберга. Обычно рядом с ними вспоминают Йордана. Нильс Бор, конечно, был основоположником этой т.н. копенгагенской КМ. Вкратце теория фон Неймана состоит в следующем.

    Вместилищем волновых функций \(\psi(q)\) считается гильбертово пространство \({\cal H}=L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)\) функций с интегрируемым по Лебегу на \( {\mathbb R}^n\) квадратом модуля. Здесь  \(q\in{\mathbb R}^n\) и \(n\) — число пространственных степеней свободы данной квантовой системы. Любые две функции из \(L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)\), отличающиеся лишь на множестве меры ноль, считаются равными элементами пространства \({\cal H}\). Эрмитово произведение \(\langle\varphi|\psi\rangle=\int\varphi^*(q)\psi(q)dq\).

    Каждой физической величине \(r\) данной квантовой системы соответствует эрмитов оператор \(R:{\cal D}_R\to{\cal H}\) (также обозначаемый \(\hat r\)), заданный на некотором всюду плотном в  \({\cal H}\) подмножестве  \({\cal D}_R\subset\cal H\). Оператор \(R\) должен быть замкнутым, что означает следующее: для любого \(\varphi\in\cal H\) и любой последовательности \(\varphi_k\in{\cal D}_R\), сходящейся к \(\varphi\), существование предела \(\lim_{k\to\infty}R(\varphi_k)=\psi\) влечет \(\psi=R(\varphi)\). Непрерывный оператор \(R:{\cal D}_R\to{\cal H}\) является замкнутым в том и только том случае, когда \({\cal D}_R=\cal H\). Также предполагается, что область определения \(R\) не может быть расширена с сохранением свойств эрмитовости и замкнутости оператора. Такой оператор \(R\) называется максимальным [3]. 

     Примерами максимальных (эрмитовых и замкнутых), но не непрерывных операторов являются операторы координат \(\hat q_j\) и импульсов \(\hat p_j\) (где \(j=1,\ldots, n\)), действующие обычным образом  

                                                    \(\hat q_j\bigl(\psi(q)\bigr)=q_j\psi(q)\)        \(\hat p_j\bigl(\psi(q)\bigr)=-i\hbar\partial\psi/\partial q_j\)                             (2)

на те функции \(\psi\in\cal H\), которые после операций (2) остаются в \(L^2({\mathbb R}^n;\mathbb C)\) (для применимости \(\hat p_j\) функция \(\psi(q)\) должна быть почти всюду дифференцируемой по \(q_j\)). При этом области определения данных операторов, изначально не замкнутых, стандартным образом расширяются до таких, на которых они становятся замкнутыми и максимальными (подробности в [3]).  

     Двинемся дальше за фон Нейманом в заросли функционального анализа. Проектором называется такой непрерывный эрмитов оператор \(E:{\cal H}\to\cal H\), что \(E^2=E\). Фактически это — оператор ортогональной проекции на некоторое замкнутое подпространство \(Im(E)\subset\cal H\) (\(Im\) означает образ оператора). Разбиением единицы, принадлежащим эрмитову оператору \(R\), называется отображение \(E\) числовой оси \({\mathbb R}\) в множество проекторов. Для каждого \(\lambda\in{\mathbb R}\) соответствующий проектор обозначается \(E(\lambda)\). 

    При этом для всех \(\lambda’\leq \lambda»\) должно быть \(Im(E(\lambda’))\subset Im(E(\lambda»))\). В этом случае оператор \(E(\lambda»)-E(\lambda’)\) является проектором на ортогональное дополнение \(Im(E(\lambda’))\) до \(Im(E(\lambda»))\). Требуется, чтобы \(\lim_{\lambda\to-\infty}E(\lambda)=0\) и \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=I\) (тождественный оператор), а также \(\forall\lambda_0\) \(\lim_{\lambda\to \lambda_0+0}E(\lambda)=E(\lambda_0)\) (непрерывность справа). Еще одно условие заключается в том, что для любых \(f,g\in{\cal H}\) имеет место:

                                                  \(\langle R(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int \lambda dh_{f,g}(\lambda)\)                                (3)

где интеграл считается по Стилтьесу и \(h_{f,g}(\lambda)=\langle E(\lambda)(f)|g\rangle \) — комплекснозначная функция от \(\lambda\in\mathbb R\), определяемая параметрами \(f,g\). Выражение (3) называется спектральным разложением (эрмитова) оператора \(R\).

    Известно, что для каждого непрерывного эрмитова оператора \(R\) cуществует единственное разложение единицы \(E(\lambda)\) c вышеуказаными свойствами. В этом заключается спектральная теорема, впервые доказанная Гильбертом. Что касается замкнутых эрмитовых операторов \(R\), не являющихся непрерывными и, таким образом, определенных на всюду плотных подмножествах \({\cal D}_R\subset\cal H\), то о них известно лишь одно. Если такой оператор является максимальным (см. выше), то принадлежащее ему разбиение единицы \(E\) не существует или существует и тогда оно единственно [3]. 

    Единственность имеет принципиальное значение для того, чтобы спектральное разложение (3) имело физический смысл. Но вопрос о его существовании является, вообще говоря, открытым. Впрочем, для важнейших максимальных операторов \(\hat q_j\) и \(\hat p_j\), не являющихся непрерывными, разложения единицы построены явным образом [3]. Максимальные операторы, для которых разбиение единицы существует фон Нейман назвал гипермаксимальными. 

     Ключевая гипотеза, связывающая весь этот функан с физикой, теперь выглядит так. Каждой физической величине \(r\) данной квантовой системы соответствует гипермаксимальный эрмитов оператор \(R:{\cal D}_R\to{\cal H}\), заданный на некотором всюду плотном в  \({\cal H}\) подмножестве  \({\cal D}_R\subset\cal H\). Спектральное разложение (3) является основой для всех вычислений, связанных с величиной \(r\). Прежде всего определим ее возможные значения.

    Спектром гипермаксимального оператора \(R\) со спектральным разложением (3) называется множество тех точек \(\lambda\in\mathbb R\), ни в какой окрестности которых оператор-функция \(\lambda’\longmapsto E(\lambda’)\) не является постоянной. Таким образом спектр — замкнутое множество и каждый интеграл (3) вычисляется de’facto не по всей числовой оси, а только по спектру \(R\). Гипотеза о соответствии оператора \(R\) физической величине \(r\) уточняется утверждением о том, что ее всевозможные значения составляют спектр \(R\) [3]. 

      При этом собственные значения \(\lambda\) оператора \(R\) определяются, как обычно — через равенство \(R(f)=\lambda f\) при \(f\neq 0\). Собственными значениями являются те и только те точки \(\lambda\in\mathbb R\), в которых оператор-функция \(E(\lambda)\) имеет разрыв. Последнее означает, что \(\lim_{\lambda’\to\lambda-0}E(\lambda’)\neq E(\lambda)\). Тогда все собственные векторы со значением \(\lambda\) составляют замкнутое подпространство в \(H\), которое является ортогональным дополнением подпространства \(\lim_{\lambda’\to\lambda-0}Im(E(\lambda’))\) до \(Im(E(\lambda))\). Множество собственных значений может быть пустым (например, у операторов координат и импульсов), конечным или счетным. Других вариантов нет.  

      Для физической интерпретации своей теории фон Нейман ввел еще 2 постулата. Первый состоит в том, что любой вещественной функции \(F(r)\) от физической величины \(r\) соответствует гипермаксимальный оператор \(F(R)\). Тогда из (3) следует, что для любых \(f,g\in{\cal H}\) имеет место:

\(\langle F(R)(f)|g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda) d\langle E(\lambda)(f)|g\rangle=\int F(\lambda) dh_{f,g}(\lambda)\)

Второй постулат утверждает, что мат. ожидание величины \(r\) в произвольном состоянии \(\psi(q)\) равно \(\langle R(\psi)|\psi\rangle\) (в силу эрмитовости \(R\) это число вещественно). Точно такая аксиома есть в [1] и [2], но Дирак обозначает \(\langle R(\psi)|\psi\rangle\) как \(\langle \psi|R|\psi\rangle\). Из этих двух предположений фон Нейман выводит принципиально важное утверждение.

     Пусть дан набор физических величин \(r_1,\ldots,r_m\) с коммутирующими между собой операторами \(R_1,\ldots, R_m\). Обозначим \(E_j\) разбиение единицы, принадлежащее \(R_j\). Пусть \(\lambda’_j\leq \lambda»_j\) для всех \(j=1,\ldots,m\) и \(P_\psi(\lambda’,\lambda»)\) есть вероятность того, что в состоянии данной квантовой системы с волновой функцией \(\psi(q)\) каждая величина \(r_j\) принимает значение из полуинтервала \((\lambda’_j;\lambda»_j]\). Тогда 

\(P_\psi(\lambda’;\lambda»)=\langle E_1(\lambda’_1;\lambda»_1)E_2(\lambda’_2;\lambda»_2)\ldots E_m(\lambda’_m;\lambda»_m)(\psi)|\psi\rangle\) 

 где \(E_j(\lambda’_j; \lambda»_j)=E_j(\lambda»_j)-E_j(\lambda’_j)\) (попарно коммутирующие проекторы). Отсюда, в частности, следует интерпретация Борна волновой функции \(\psi(q)\), согласно которой \(|\psi(q)|^2\) есть плотность распределения случайных величин \(q_1,\ldots,q_n\) (пространственных координат в данной системе). 

    Возможен случай, когда спектр состоит только из собственных значений. Тогда он не более, чем счетный. Примером служит оператор энергии \(H\) (гамильтониан). В таком случае из (3) следует, что любой вектор \(\psi\in\cal H\) разлагается по собственным векторам:  \(\psi=\sum_k \psi_k\), где \(R(\psi_k)=\lambda_k\psi_k\). Данный факт имеет фундаментальное значение в КМ, но для его доказательства не нужно разбиение единицы. Описанные выше, математические ухищрения понадобились фон Нейману для того, чтобы строго описать случай континуального спектра, во исполнение чего изгнать из КМ дельта-функцию вместе со следующим утверждением Дирака (которое с ней неразрывно связано).

       Если множество собственных значений эрмитова оператора \(R\) непрерывно, то всякий вектор состояния \(|\psi\rangle\) выражается в виде интеграла по спектру: \(|\psi\rangle=\int |\psi_{\lambda}\rangle d\lambda\),  где \(R(|\psi_{\lambda}\rangle)=\lambda|\psi_{\lambda}\rangle\). Спектром оператора в книге [1] называется множество его собственных значений (вне всякой связи с разложением единицы). 

    Если убрать бра-кет обозначения Дирака и применить данное утверждение к функциям \(\psi, \psi_\lambda\)  из гильбертова пространства \(\cal H\), то оно станет ложным. Но в качестве пространства состояний квантовой системы Дирак, в действительности, рассматривал множество \({\cal D}'({\mathbb R}^n)\)  обобщенных функций на \({\mathbb R}^n\), которое содержит \( \cal H\) в качестве подпространства. А в \({\cal D}'({\mathbb R}^n)\) разложение в интеграл от собственных векторов по непрерывному спектру из собственных значений в смысле Дирака может иметь место. Более того — в пространстве обобщенных функций не существует проблемы определенности эрмитовых операторов не всюду, которой фон Нейман посвятил много усилий. Подробности будут описаны в дальнейшем.  

    Таким образом, фон Нейман изгонял из КМ дельта-функцию напрасно. Возможно, хотя я не вполне в этом уверен, что основанная на спектральной теореме КМ не потеряла ничего по существу. Но она стала технически очень громоздкой! Чтобы почувствовать разницу достаточно сравнить изящные рассуждения Дирака в [1], связанные с излучением, поглощением и рассеиванием фотонов, с тем, как теория излучения излагается в [3]. Нет никаких сомнений в том, что на пути, который фон Нейман избрал для наведения математического порядка в квантовой механике, она бы не была открыта никогда. При этом порядок присутствовал в ней изначально. Просто гениальный Дирак намного опередил развитие математики, введя в обращение «несобственную» функцию \(\delta(x)\) [1]. 

   Для понимания дальнейшего материала весьма желательно владеть понятием обобщенной функции на уровне книги [4]. Для этого достаточно прочитать в ней параграфы 5 — 9.  Будет показано, что КМ может быть вполне строго изложена на исходном языке Дирака, в силу чего она не нуждается в теории фон Неймана. Весь остальной материал изложен в тексте https://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/10/QM.pdf

1. П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, 1960, М.: Физматгиз. 

2. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, 1932, М.: ГТТИ. 

3. Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.

4.  В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.:Наука, 1988.

Автор: д.ф.-м.н. Дмитрий Зотьев