Наследие Кардано или космические двигатели третьего тысячелетия

   »Алхимик», художник Питер Брейгель старший

    В статье рассмотрены яркие образцы научного дилетантизма. Один относится к алгебре XVI века, другой — к футуристическим методам космического движения. В каждой из областей можно пытаться что-нибудь придумать, не тратя годы на вхождение в науку. Но достаточно ли иметь диплом о высшем образовании, чтобы считать себя ученым и рекламировать «открытия», которые не проходили экспертизы ?  

1. Феррари — не автомобиль      

   Каждый решал в школе квадратные уравнения x^2+bx+c=0 . Многие знают о том, что существует формула корней кубического уравнения x^3+ax^2+bx+c=0 . Заменой   y=x+a/3  оно приводится к виду 

y^3+py+q=0     где    p=b-\frac{a^2}{3}    и    q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c

Решение дается формулой Кардано:

 y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}       (1)

которая применяется следующим образом. Обозначим A и B кубические корни в (1), которые нужно выбрать при условии AB=-p/3 . Тогда все три корня уравнения даются выражениями :

y_1=A+B          y_{2,3}=\frac{A+B}{2}\pm i\frac{A-B}{2}\sqrt{3}        (2)

     Уравнение  x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 заменой z=x+b/4a сводится к случаю a=0, для которого существует метод Феррари. Он заключается в следующем. Находим любой корень y_0  уравнения резольвенты 

y^3-by^2-4dy+4bd-c^2=0          (3)

после чего решаем пару уравнений:

x^2+\frac{y_0}{2}=\pm(\sqrt{y_0-b}\cdot x -\frac{c}{2\sqrt{y_0-b}})           (4)

   Таким образом получаются все 4 корня уравнения

 x^4+bx^2+cx+d=0         (5)

    Есть еще метод Декарта-Эйлера, который принципиально отличается не сильно. Других имен с решением (5) не связано — так до недавнего времени казалось. Однако в статье http://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-odnogo-podhoda-k-resheniyu-algebraicheskogo-uravneniya-4-y-stepeni, опубликованной в серьезном журнале, дана ссылка на В.В. Подвысоцкого, как автора нового решения для (5). Таким образом, в истории алгебраических уравнений — Сципион дель-Ферро (1465-1526), Лодовико Феррари (1522-1565), Рафаэль Бомбелли (1526-1572), Джероламо Кардано (1501-1576), Рене Декарт (1596-1650), Нильс Хенрик Абель (1802-1829), Эварист Галуа (1811-1832) — возникло новое имя: Валентин Подвысоцкий (наши дни, Украина). Молодой самородок с экономическим образованием написал в 2002 статью «Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени«, которая растиражирована в интернете, но не опубликована в математических журналах. 

      Причина этого проста — ничего нового Подвысоцкий не придумал. Последующий анализ его результата опирается на публикацию http://n-t.ru/tp/ns/oam.htm , формулы из которой нумеруются с префиксом П. По существу это — декоративная модификация метода Феррари. А именно, если переобозначить коэффициенты (5) как T=b,\quad P=c, \quad Q=d , после чего в (3) сделать замену переменной y=A+T, то для неизвестной A получим уравнение П(14). При этом из (3) в новых обозначениях следует П(13), с учетом которого из (4) тривиально вытекают П(17) и П(18). Последние дают решение уравнения (5) «методом Подвысоцкого». Который, как мы видим, есть просто метод Феррари со сдвигом переменной y на -b.

    Такого рода «новых методов» легко придумать бесконечно много. Например, введем новую переменную z, где y=z+kb и k — любое число. Проделав аналогичные преобразования, получим уравнения (3) и (4) другого вида. Нельзя исключать, что автор П ни у кого не списывал, не подгонял и сам дошел до метода Феррари. Но здесь нет нового результата, поэтому «метод Подвысоцкого» не представляет никакого интереса.

      Такие упражнения хороши для школьных конкурсов, однако не стоит увлекаться. Чтобы не спорить с Нильсом Абелем, который доказал неразрешимость в радикалах уравнений 5-й степени! Статья http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/10980.html опровергает легендарного норвежца. Попытка, впрочем, оказалась слишком резвой. В первом же предложении написано: «Любое алгебраическое уравнение пятой степени можно привести к виду  x^5+ux+v=0 » .  

    Это не так хотя бы потому, что при Re(u)\neq 0 или Re(v)\neq 0 уравнение данного вида не может иметь больше 3-х вещественных корней c учетом кратности. Чтобы наглядно убедиться в этом, достаточно нарисовать возможные пересечения графиков функций y=x^5  и  y=-Re(u)\cdot x-Re(v) .  Если же Re(u)=Re(v)=0 и хотя бы одно из u, v отлично от нуля, то вещественных корней нет вообще. При этом ясно, что уравнение 5-й степени может иметь 5 вещественных корней. Посрамить Абеля не получилось. 

   Если бы не было других ошибок, то можно было говорить о методе решения уравнений  x^5+ux+v=0 . Однако его нет, как мы сейчас увидим. Формулы этой статьи нумеруются с префиксом В. Рассмотрим уравнение В(1) с коэффициентами u=0 и v=-1. Оно имеет единственный вещественный корень x=1Из B(26) и B(27) находим p=-2^{1/5}  и  q=2^{4/5}. Из В(20) и В(21) находим b=-1/16^{1/5} и c=1/2^{1/5}. Согласно рецепту Подвысоцкого, x=1 — корень В(5) или В(6). Отсюда  1+b+c+d=0 , где  d удовлетворяет уравнению В(25) :

d^2+\frac{d}{16^{2/5}}-2^{4/5}=0      (6)

Однако легко проверить, что (6) не выполняется. Таким образом, статья целиком ошибочна. 

     Интересно, что приоритет Кардано подвергается серьезному сомнению. Подлинным автором (1) был вероятно Сципион дель Ферро. Статья о странной личности Кардано: http://www.nnre.ru/nauchnaja_literatura_prochee/vorovstvo_i_obman_v_nauke/p3.php. 

 2.  ПВРД без топлива

   Интересы автора П тоже выходят за пределы алгебры. Он пишет труды об электрохимическом патроне и военной базе на Луне, электромагнитной природе гравитации и способах межзвездного полета. О всем, чего коснулся ум любителя, вооруженный элементами анализа. Самая популярная статья размножена на сотнях сайтов. Здесь принят за основу первый вариант http://n-t.ru/tp/ts/kd3.htm. Будем обозначать его  ВП. Цитаты всюду набраны курсивом.

Рисунок из статьи В.В. Подвысоцкого «Космические двигатели третьего тысячелетия»

     Представим, что космический корабль уже имеет какую-то скорость и кинетическую энергию. Нельзя ли использовать часть этой энергии, чтобы разогнаться до большей скорости? Но в системе отсчета, связанной с кораблем, кинетическая энергия равна нулю. Поэтому без химической или ядерной энергии ускорить ничего нельзя. Но внешние тела или среда движутся в системе отсчета корабля и, стало быть, имеют кинетическую энергию. Можно ли использовать ее, чтобы разогнать корабль? Корабль в целом — нельзя, что следует из закона сохранения импульса. Но если при разгоне аппарат теряет массу, то в неподвижной системе отсчета его импульс может уменьшаться. При этом внешние тела приобретают импульсы, поэтому закон сохранения выполняется. Например, после удара автомобиля на большой скорости о столб отдельные фрагменты могут лететь быстрее. Таким образом, чтобы использовать кинетическую энергию для дальнейшего разгона, нужно организовать взаимодействие с внешней средой или телами, в ходе которого корабль теряет массу. Такие принципы космического движения гипотетически описаны в статье ВП.

     Среди них трансформация кинетической энергии в тепло, которое используется в реактивном двигателе. «Предположим, космический аппарат летит в верхних слоях атмосферы Урана, со скоростью 20 км/с. Космический аппарат находится в аэродинамической тени раструба массозаборника. Через массозаборник, внутрь двигателя попадает 1 кг водорода. Его кинетическая энергия 200 тыс. кдж, импульс 20 тыс. кг·м/с. КПД двигателя 70 %. В результате торможения захваченного газа, его кинетическая энергия преобразуется в тепловую энергию

     Действительно, КПД прямоточных воздушно-реактивных двигателей (ПВРД) может достигать 70%. Но это — термический КПД, а не КПД преобразования кинетической энергии потока в тепловую. Последний, в данном случае, ничтожен. Дело в том, что диффузор ПВРД замедляет набегающий поток и преобразует его энергию в тепло, используя встречное давление раскаленных газов в камере сгорания. Поэтому в ПВРД сжигается топливо, а скачок давления на выходе из диффузора служит своего рода стенкой для продуктов горения. Сам по себе диффузор ПВРД не замедляет поток воздуха и, соответственно, его энергию в тепло не трансформирует. Если же брать во внимание тепло, которое производится от аэродинамического трения, то оно мало по сравнению с кинетической энергией потока, поскольку столкновения атомов со стенками «массозаборника» являются почти упругими.

   Таким образом, оценка КПД «кинетического двигателя» в 70%, которая также применяется для варианта с МГД-генератором, на самом деле взята с потолка. Реальный КПД будет ничтожным! Автор просто не понимает механизм ПВРД (Ramjet), когда уверенно фантазирует на тему аналогичного принципа для звездолетов. Для большей эффективности предложена магнитная ловушка: «Эффективность массозаборника значительно увеличится, если снабдить двигатель источником магнитного поля (соленоидом). … В результате, эффективное сечение массозаборника может возрасти в тысячи раз

     Трудно понять происхождение оценки «в тысячи раз». Ведь магнитная воронка не действует на нейтральные атомы, которые преобладают в потоке газа, если не ожидаются полеты в атмосфере из плотной плазмы с высокой степенью ионизации. Такой атмосферы у планет не существует! Например, максимальная концентрация заряженных частиц в ионосфере Земли на 13 порядков ниже концентрации воздуха с давлением 1 бар. В открытом космосе заряженных частиц еще на порядки меньше. В статье предполагается, что можно собрать килограмм плазмы в секунду, используя магнитную воронку с эффективным диаметром порядка 100 км. Безотносительно к вопросу о реализации такой воронки, производство тепла из плазмы будет ничтожным (см. выше).

Сверхзвуковой ПВРД

     В статье предлагается еще один способ утилизации кинетической энергии среды (в системе отсчета корабля), основанный на принципе МГД — генератора. При этом рассматриваются экзотические источники плазмы, через которую должен пролетать аппарат. Все это можно смело назвать чепухой, которая не заслуживает обсуждения. Но на одном источнике мы остановимся: «Ядерные взрывные устройства можно предварительно расположить вдоль траектории полета космического аппарата. При этом не придется разгонять массу самих взрывных устройств».

    Интересно, что ВП считает себя первооткрывателем идеи о размещении ядерных зарядов в космосе — на участке разгона корабля, и готов ревностно отстаивать свой мнимый Copyright. Эта прозрачная идея, очевидно, восходит к проекту «Орион» 60-х. Она встречается в статье 2000 года http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2012/09/EPPP1.pdf в рамках концепции Beamed Propellant, что означает внешнюю подачу топлива и/или рабочего тела на космический аппарат. 

   Безотносительно к источнику плазмы, ее кинетическую энергию предложено использовать для питания электрореактивного двигателя: «Продукты взрыва (плазма с высокой плотностью), захватываются магнитной воронкой. Сила, возникающая при торможении захваченной плазмы в канале МГД-генератора, и сила тяги электрореактивного движителя могут действовать в одном направлении». 

     При торможении встречного потока в канале МГД — генератора никакой силы, ускоряющей корабль, возникнуть не может. Если имеется в виду догоняющий поток, то проще и эффективней тормозить его поперечной плитой, толчок в которую создаст тягу. Но это — известный принцип «Ориона», которому не требуется МГД – генератор. Что касается утилизации произведенной электроэнергии, то из-за ничтожной тяги электрореактивные и все остальные плазменно-ионные двигатели годятся лишь для коррекции орбит и ориентаций космических аппаратов, но не в качестве маршевых. Это – фундаментальная проблема, обусловленная трудностью разделения разноименных зарядов и невозможностью ускорения плазмы в электрическом поле http://extremal-mechanics.org/archives/390.

     Таким образом, оптимизм ВП в отношении МГД — генератора на приготовляемой плазме и перспектив двигателя ЭОЛ столь же наивен, как и надежды на производство полезного тепла из кинетической энергии. По существу автор декларирует положения, в которые верит, а затем делает разумные расчеты, основанные на удобных допущениях. Что касается ядерных зарядов (pulse units), размещенных на участке разгона, то в космическом аппарате типа «Орион» они бы использовались на много порядков эффективней. Например так  http://extremal-mechanics.org/archives/305. 

     Несмотря на похвальный энтузиазм, в статье ВП нет технических решений, которые могли бы эволюционировать в осуществимые концепции. Есть общая идея о разгоне части массы за счет кинетической энергии целого (подробности ниже). Может ли это стать ключом к решению проблемы межзвездного полета ?

    Допустим, что нужно разогнать автоматический зонд до скорости 20 000 км/сек, что означает 65 лет полета до Альфы Центавра. Зонд должен нести двигательную установку и быть способным отправлять сигналы, которые не рассеются на пути в световые годы (для чего мощность излучения должна иметь порядок 1 МВт или выше). Поэтому конечная масса едва ли может быть меньше 100 т. Тогда конечная энергия аппарата составит 2\cdot 10^{19} Дж, что приблизительно эквивалентно взрыву 5 000 Мегатонных бомб. Поскольку предполагается, что корабль разгонится до 20 000 км/сек за счет начального запаса кинетической энергии, она не может быть меньше конечной. Допустим, разгон начинается со скорости 10 км/cек, что достижимо с помощью ЖРД. Тогда начальная масса составит не менее 400 млн. тонн!

    Даже если снизить массу зонда до 1 т, чего заведомо недостаточно, а скорость уменьшить до 10 000 км/cек, то и в этом случае начальная масса должна быть чудовищной – не менее 1 млн. тонн. Задача разгона такой массы до 10 км/cек не выглядит проще, чем одной тонны до 10 000 км/сек. В обоих случая придется утилизировать энергию, эквивалентную нескольким тысячам ядерных бомб классической мощности 20 Кт. Кроме того, миллионы тонн массы нужно поднять с Земли, преодолевая гравитацию. Все это драматически противоречит образу звездолета, который мчится в облаках из плазмы (см. рисунок выше).

  Снижать планку от 10 000 км/сек до 1 000 км/сек практически бессмысленно, т.к. время полета к ближайшим звездам возрастет до тысячелетий. При этом скорость 1 000 км/сек избыточна для Солнечной системы. При 100 км/сек полет до Сатурна по радиусу от Солнца продлился бы около 5 месяцев, а до Нептуна — немногим больше 1,5 года. Это приемлемо для пилотируемой экспедиции. Достижение 100 км/сек стало бы важным шагом в развитии космонавтики. Ясно, что масса корабля для пилотируемого, межпланетного полета не может быть существенно ниже 100 т. Тогда для ускорения на 100 км/сек за счет кинетической энергии, при начальной скорости 10 км/cек масса корабля должна быть не меньше 10 000 т. Фактически она будет значительно больше.

Скриншот из мультфильма «Космический линкор Ямато»     

   Вместо задачи разгона корабля с массой 100 тонн до 100 км/cек мы получили проблему разгона космического «линкора» до 10 км/cек. Его еще нужно поднять с Земли! Можно пытаться упростить задачу, собирая такого монстра на окололунной орбите. Тогда при стартовой скорости 1.7 км/сек – это первая космическая скорость Луны, начальная масса корабля превысит 350 000 тонн. Поэтому идея ВП выглядит интересной только на первый взгляд, оставляя открытым вопрос о реализации таких фантазий.  

 3. Навстречу граду пуль

     Статья http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/media/Podvysockiy.pdf возвращается к идее кинетического реактивного двигателя. Будем обозначать эту статью ПП. В ней предлагается новая схема движения за счет энергии движения. 

    Сначала обычные ракеты разгоняют корабль до нескольких км/сек. На его пути размещены малые «зонды«, которые будут влетать в камеру двигателя, сталкиваться там с «мишенями» и испаряться вместе с ними. Таким образом, кинетическая энергия преобразуется в тепло. Затем газообразные продукты взрыва истекают через сопло, чем создается тяга. В результате часть кинетической энергии расходуется на разгон корабля, который освободился от мишеней. Автор считает, что таким способом можно достичь скоростей ~10 000 км/сек, необходимых для межзвездных экспедиций. Выше было показано, что это — иллюзия, безотносительно к реализации. В действительности одна проблема — разгон до большой скорости подменяется другой — разгон гигантской массы, и к ней добавляется еще одна. А именно: как заставить кинетический  реактивный двигатель работать?  

     В ПП приводятся вычисления, которые, на первый взгляд, выглядят убедительно.  Ниже даны другие выкладки, которые раскрывают суть идеи. Пусть в системе отсчета корабля зонд массы m влетает в двигатель со скоростью v. После абсолютно неупругого удара, который наиболее эффективен для производства тепла, корабль получит импульс  mv=(M+m)w  против движения. Согласно ПП, энергия зонда преобразуется в тепло Qкинетический взрыв«). Тогда

Q=\frac{mv^2}{2}-\frac{(M+m)w^2}{2}     где      w=\frac{mv}{M+m}

Часть тепла \alpha Q трансформировалась в механическую энергию, из которой кораблю досталась доля (m+\widetilde m)/(M+m+\widetilde m), где \widetilde m — масса мишени. Тогда приращение скорости корабля:

\Delta V=\sqrt{\frac{m+\widetilde m}{M+m+\widetilde m}\alpha\left(\frac{mv^2}{2}-\frac{(M+m)w^2}{2}\right)\cdot\frac{2}{M}}      

Эта величина может быть больше w, даже если \alpha не близко к единице. В самом деле, при \alpha=1 условие \Delta V>w равносильно \widetilde mM>0.

     Итак, с точки зрения механики возможно, что результирующее приращение скорости будет положительным. Означает ли это, что «кинетический реактивный двигатель» может работать ? Ответ, как мы увидим, отрицательный. Но если бы он был способен работать, то расход рабочего тела определялся бы аналогом формулы Циолковского:     

V=u\frac{\widetilde m+m}{\widetilde m}\ln\frac{M+\widetilde M}{M}       (7)

где V — скорость аппарата массы M после того, как израсходован запас мишеней с общей массой \widetilde M (мишени испарились вместе с зондами и вылетели через сопло),  u — скорость струи газов относительно двигателя.

   Однако есть принципиальные проблемы, которые не учтены в статье. Предполагается, что при скорости зонда в десятки, сотни и тысячи км/cек его можно остановить, поставив прочную «мишень». Струя металла, которую производит кумулятивный снаряд,  имеет скорость ~10 км/сек и пробивает десятки см брони. Давление, которое при этом развивается, имеет порядок 10 ГПа. Никакой материал не может противостоять такому давлению. Например, предел текучести вольфрама не превышает 1.5 ГПа, а предел прочности алмаза близок к 2 ГПа. Оценим давление, которое развивает «зонд».        

     Допустим, что зонд представляет собой железный цилиндр с высотой h=10 см и массой 1 кг. Чтобы испарить его требуется около 10 МДж. Такую кинетическую энергию цилиндр будет иметь при скорости 4.5 км/сек. Еще нужно испарить мишень, поэтому пусть v=10 км/сек. Тогда кинетическая энергия эквивалентна ~10 кг ТНТ. Оценим давление, которое возникло бы при торможении цилиндра неподвижной, абсолютно твердой мишенью. Время до полной остановки  \tau=h/v=10^{-5}  сек. При этом импульс уменьшается от  p=10^4  до нуля, следовательно средняя сила торможения  F=p/\tau=10^9 Н. Тогда среднее давление цилиндра на мишень близко к  10^{12}  Па. Это на два порядка выше пределов прочности всех материалов. Цилиндр  насквозь пройдет мишень и стенку камеры сгорания. При этом давление пропорционально квадрату скорости. Зонды будут не столько поставлять тепло в двигатель, сколько разрушать его. 

 

 Выброс пламени изнутри — это пороховые заряды, вспыхнувшие от раскаленной струи газов. Она проникла сквозь небольшую дырку в броне, которую пробила струя меди со скоростью ~10 км/сек.  

    Но можно ли спасти эту идею, используя в качестве «зондов» тонкие диски или пленки, ориентированные перпендикулярно движению? Если в примере с цилиндром уменьшить его высоту в \beta раз, а площадь основания пропорционально увеличить, то время торможения уменьшится, что увеличит в \beta раз силу торможения. Поэтому оценка давления ~1 ТПа не изменится. За счет снижения массы зонда до ~0.1 кг давление уменьшится на порядок, однако останется выше пределов прочности. При скорости 10 км/cек энергия такого зонда эквивалентна ~1 кг ТНТ. Очевидно, что меньший энерговыход лишен практического смысла.

   Однако  можно предположить, что удар достаточно тонкого диска (пленки) не разрушит двигатель, а вызовет абляцию поверхности мишени. В какой-то мере это так и будет, хотя абляция незначительна (см. ниже). Допустим, что стальная пленка с диаметром 50 см и толщиной 10 микрон на скорости v=100 км/сек ударилась о мишень поверхностью. Такая пленка имеет массу 15.5 грамм и кинетическую энергию 77.5 МДж, которая эквивалентна 18.5 кг тротила. Аналогично примеру с цилиндром, давление пленки оценим в 80 ТПа, но из-за инертности вещества мишени пленка не сможет глубоко проникнуть в материал. На первый взгляд все выглядит оптимистично.

    Проблема точного наведения зондов весьма сложна даже при скорости 10 км/сек. Ошибки имели бы катастрофические последствия! Однако трудности быстрого закрывания входного канала имеют фундаментальный характер. Нужно закрыть диафрагму за миллисекунды, иначе раскаленные газы успеют вырваться из камеры. Чтобы получить из сверхтонкой пленки существенную энергию, она должна иметь диаметр в десятки см. Закрыть такое отверстие за миллисекунды крайне сложно. Легко проверить, что пиковое ускорение частей диафрагмы достигнет ~10 000 g . Энергия, которая для этого потребуется, может превысить гипотетический выход кинетического двигателя. Магнитная заслонка не решает эту проблему, поскольку она не остановит нейтральные атомы и микрочастицы вещества, а полностью ионизированная плазма не получится (см. ниже). 

      Оценим принципиальные возможности кинетического двигателя, безотносительно к техническим проблемам. Рассмотрим процесс столкновения с зондом в системе отсчета корабля, которая зафиксирована перед столкновением. Будем считать, что с выделяемым теплом в дальнейшем ничего не происходит. Это позволит сосчитать количество тепла Q, которое выделяется в процессе столкновения. Тогда на произвольном, бесконечно-малом  промежутке времени  [t; t+dt]  в силу закона сохранения энергии:

    dE_0+dB_c+dB_s+dR_c+dR_s+dK_c+dK_s+dE_s+dQ=0      (9)

где  E_0 — энергия «зонда», dB_c+dB_s - приращение энергии связи атомов,  dB_s - приращение энергии связи в твердом веществе, dB_c - приращение энергии связи от разрушения твердой структуры вещества (зонда и мишени), R_c - энергия отталкивания атомов конденсированной материи, в которую превращается твердое вещество,  R_s - энергия отталкивания атомов твердого вещества, K_c  - кинетическая энергия разлета конденсированной материи (в т.ч. энергия абляции), K_s - кинетическая энергия разлета твердого вещества (выбитые фрагменты двигателя и т.п.), E_s - кинетическая энергия корабля, приобретенная за счет удара зондом, Q - термическая энергия, начальное значение можно считать нулевым.

       В любом куске твердого вещества сумма энергии связи и взаимного отталкивания атомов постоянна, поэтому  dB_s+dR_s=0 . Тогда из (9) получаем:

 dE_0+dB_c+dR_c+dK_c+dK_s+dE_s+dQ=0

 Интегрируя это уравнение получим:

(0-E_0)+(0-B)+\int dR_c+\int (dK_c+dK_s)+E_s+Q=0        (10)

где E_0 - начальная энергия зонда, B<0 - начальная энергия связи атомов в зонде и мишени. Поскольку по завершении столкновения зонд распался на атомы, энергия взаимодействия атомов конденсированной материи стала равной нулю (ее ничто не сжимает). Поэтому  \int dR_c=0 . Часть кинетической энергии перейдет в бесполезное тепло \widetilde Q (нагрев двигателя и других узлов), остаток обозначим \widetilde K, таким образом  \int (dK_c+dK_s)=\widetilde Q+\widetilde K . Окончательно из  (10)  получаем :

Q=E_0-|B|-E_s-\widetilde Q-\widetilde K          (11)

       Правая часть (11) меньше кинетической энергии зонда, т.к. все вычитаемые величины положительны. Ниоткуда не следует, что значительная часть E_0 перейдет в тепло. В статье ПП этот вопрос не рассматривается. По существу предполагается, что в правой части (11) есть только величина E_0=mv^2/2. Утверждается, что в результате кинетического взрыва получится горячая плазма, однако эта декларация безосновательна. При этом учет энергии связи электронов с ядрами только уменьшит Q, т.к. добавит отрицательное слагаемое в правую часть (11). Вычисления в ПП вращаются вокруг КПД \eta, который дает долю тепла Q=E_0, равную кинетической энергии струи K=\eta E_0. Однако в действительности Q<<E_0, т.к. почти вся энергия, которая останется после разрыва межатомных связей в зонде и мишени ( E_0-|B| ), пойдет на разрушение двигателя и его нагрев ( \widetilde K+\widetilde Q ). Из-за относительной малости Q КПД \eta окажется ничтожным. Величиной E_s можно пренебречь, но остальные члены (11) радикально меняют картину «кинетического взрыва». Рассмотрим численные оценки.   

      Кинетическая энергия пули трансформируется в кинетическую энергию твердого вещества

   В статье ПП вещество считается идеальным газом, что означает пренебрежение всеми видами внутренней энергии, кроме тепловой. Однако при давлении в миллионы бар, которое развивается от удара на скорости ~10 км/сек, без дополнительного подогрева твердое вещество ведет себя, как конденсированная материя. Отнюдь не газ! Это известно после исследований, связанных с разработкой ядерного оружия. В процессе удара преобладает энергия отталкивания электронных оболочек атомов. При этом термическая энергия не является существенной, что характерно для конденсированной материи. По мере того, как зонд теряет структуру твердого тела и превращается в сгусток такой материи, давление исчезает и энергия отталкивания переходит в кинетическую энергию разлета вещества. И хотя эта кинетическая энергия  K_c+K_s  может частично перейти в тепло  \widetilde Q , его основная часть будет рассеяна в двигателе, а не в зонде и мишени.  При этом полезная энергия Q мала сравнительно с   E_0=mv^2/2  (см. ниже). 

    Теперь оценим внутреннюю энергию конденсированной материи под давлением в 10 млн. бар (атмосфер). Известно, что ее массовую плотность можно оценить формулой

E=\frac{P+P_0}{(\gamma-1)\rho}        (12)

где \rho — плотность, P — внешнее давление, P_0 — давление внутри вещества при нормальных условиях, \gamma — эффективный термодинамический показатель. Последний экспериментально определяется для каждого из материалов. Кроме того он зависит от давления, однако в приближенных вычислениях можно принять, что  (\gamma-1)\rho=const. Для примера рассмотрим медь:  P_0=575 Кбар,  \rho_0=8900 кг/куб.м,  \gamma_0=3. По формуле (12) E=58 МДж/кг, из которых на термическую энергию приходится  малая часть. Результат соответствует кинетической энергии зонда массой 1 кг на скорости 10.8 км/сек. Следовательно тепло, которое выделится при ударе, заведомо недостаточно для испарения зонда и мишени под давлением ~1 Мбар (при нормальном давлении нужно ~10 МДж), не говоря о разогреве получаемых паров. 

       Но может быть кинетический двигатель заработает на скорости ~100 км/сек? Выше рассматривалась пленка с толщиной 10 мкр, диаметром 50 см и массой 15.5 грамм, которая останавливается  за ~0.1 нс. В этом случае давление на мишень приближается к миллиарду бар. Однако импульс торможения достаточно мал, \Delta p=1550 кгм/cек. Предположим, что такой удар не вызовет механических повреждений двигателя.

     Оценим температуру аблирующих газов. До этого они были конденсированной материей в тонком слое на поверхности, под давлением ~1 Гбар. Известно, что при давлении 12.5 Гбар дейтерий имеет плотность в 1000 раз больше нормы и находится в полностью ионизированном состоянии. При этом его электронный газ является холодным Ферми-газом при «квантовой температуре» 5.2 млн. K. Последнее означает, что обычная температура электронного газа существенно ниже 5.2 млн. K. На другом конце спектра находится уран, который при давлении 100 Гбар имеет плотность в 83 раза больше нормы и пребывает в состоянии с высокой степенью ионизации (около 40%). При этом его электронный газ является Ферми-газом при «квантовой температуре» 12 млн. K. Таким образом, при давлении в миллиарды бар температура вещества зонда и мишени не выше ~1 млн. К. Элементарная оценка ПП  — 45 млн. К при скорости 75 км/сек —  является несостоятельной. 

      Чтобы оценить термическую энергию при ударе зонда на скорости ~100 км/сек, найдем из (12) плотность внутренней энергии меди под давлением P=1 Гбар. Получим  E=5.6 ГДж/кг. При температуре T=1 млн. К идеальный газ из меди имел бы внутреннюю энергию

U=\frac{3}{2}\nu RT=\frac{3}{2}\frac{1000}{63.5}\cdot RT=0.2  ГДж/кг

что не превышает 3.5% энергии  E=5.6 ГДж/кг, которую при 106 км/cек имеет 1 кг. Таким образом, при скорости корабля до ~100 км/сек лишь малая часть кинетической энергии зонда трансформируется в полезное тепло. Расчеты тяги в ПП исходят из обратного, поэтому они ошибочны. Кроме того, поскольку малая часть E_0=mv^2  перейдет в Q , большая часть будет затрачена на разрушение двигателя. При скорости 1 000 км/сек доля тепла, возможно, возрастет. Зонд с массой 1 г будет иметь энергию 500 МДж, что эквивалентно 120 кг ТНТ. Однако из (11) видно, что вся кинетическая энергия не перейдет в полезное тепло. Если хотя бы 10% составит \widetilde K+\widetilde Q, то стенка камеры сгорания будет пробита (направленный взрыв 12 кг ТНТ). 

     

 Скриншот из мультфильма «Барон Мюнхгаузен»  

   В статье ПП представлена известная идея инерционного, термоядерного синтеза, осуществляемого за счет соударения дейтерий-тритиевой смеси с жестким телом на скорости в сотни или тысячи км/сек http://www-pub.iaea.org/MTCD/Meetings/FEC2008/if_p7-30.pdf. Нельзя исключать, что это может работать, однако элементарные оценки ПП далеки от реальности. Энергоэффективные реакции синтеза, которые до сего дня создавались только в бомбах, происходят при давлениях в миллиарды бар на всей поверхности термоядерного топлива. Это на много порядков выше пределов прочности всех материалов. Поэтому никакой тампер не сможет жестко остановить капсулу с дейтерием и тритием для достижения таких условий. Фактически, вещество капсулы проникнет глубоко в тампер или пройдет его насквозь. Реакции синтеза будут наблюдаться, однако общий выход остается под большим вопросом. Кроме того, заявленные в ПП температуры в десятки миллионов К заведомо не достигаются (см. выше). Поэтому оценка критерия Лоусона является ошибочной.

4. Эпилог

    Для того, чтобы зонды не разрушали двигатель, мишени должны служить экранами от ударов. Из-за экстремальных давлений, которые при этом развиваются, прочность материала не существенна. Поэтому масса мишени  \widetilde m  должна быть значительно больше массы зонда  m . В этом случае формула (7) близка к формуле Циолковского

V=u\ln\frac{M+\widetilde M}{M}

но вместо топлива придется нести на борту запас мишеней \widetilde M>>M . Поэтому идея ПП, на самом деле, не обещает преимуществ перед ЖРД и ЯРД в отношении затрат рабочего тела. Даже с учетом того, что «зонды» будут размещены снаружи! Основная проблема имеет фундаментальный характер: большая часть кинетической энергии будет расходоваться не на производство полезного тепла, а на разрушение и нагрев двигателя. Но кроме этого нужно решать задачу начального разгона корабля с огромной массой, которая пропорциональна квадрату конечной скорости. Такова особенность любого «кинетического двигателя», поэтому у данной идеи нет перспектив реализации в нечто разумное и полезное. 

    Очередной выброс любительской фантазии будет снова разрекламирован в интернете, как принципиальное решение проблемы вызова — полета к звездам ? Заранее сочувствую всем критикам блистательной идеи, они узнают о себе немало интересного ))  

Дмитрий Зотьев

Наследие Кардано или космические двигатели третьего тысячелетия: 6 комментариев

  1. У Подвысоцкого, как выяснилось, тоже есть защитник с ученой степенью http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/articles/Zotiev-Panov-2014-04-08.pdf. И тоже кандидат наук. Да не откуда-нибудь, а из НИИЯФ МГУ )) Однако, сотрудник этого института должен был написать нечто более серьезное, не повторяя безграмотные фантазии любителя. В ближайшее время время будет опубликован критический анализ этой статьи.

    • Господин Панов, между прочим, прошедшим летом стал доктором физ-мат наук. Всю жизнь занимался измерениями космических лучей. Казалось бы, грамотный человек. Однако поплыл и взял под крылышко шарлатана (хотя и весьма неглупого). Подробней об этом в http://extremal-mechanics.org/archives/12794. Похоже, что такие защитники лженауки ведутся на лесть от подопечных альтов. Или им за это платят, т.к. шарлатанство — процветающий в России бизнес. Чем хуже дела в реальной науке, тем громче и наглей о себе заявляет альтернативная.