Авторотация в пустоте

   Может ли космонавт остановить свое вращение в пустом пространстве без помощи реактивных мини-двигателей или реактивной тяги, получаемой в результате отбрасывания предметов? Ответ: не сможет, т.к. для этого пришлось бы передать вращательный момент какому-то другому телу. Но если бы он имел при себе колесо способное вращаться вокруг оси, которую можно держать в руках, то смог бы остановить движение, раскручивая колесо в том же направлении и уменьшая этим скорость своего вращения в силу закона сохранения момента импульса. В какой-то момент результирующий момент космонавта станет равным нулю и он остановится, а колесо приобретет его первоначальный момент импульса. После этого колесо можно выбросить, приобретя импульс поступательного движения )) 

   В этом эпизоде осознающий себя компьютер HAL-9000 убивает Фрэнка — одного из членов экипажа корабля «Дискавери», летящего к Юпитеру. Тело уносится в бездну пространства, следуя первому закону Ньютона и сохраняя импульс, полученный от удара космической шлюпкой (pod). Уже мертвый Фрэнк вращается вокруг центра масс, сохраняя также момент импульса. 

Эпизод из великого фильма «2001: A Space Odyssey», снятого за год до высадки на Луну (1968)  

    Рассмотрим близкий к этому и более интересный вопрос. Возможно ли, чтобы за счет определенной перестройки, т.е., изменения конфигурации самой себя физически изолированная система оказалась повернутой вокруг какой-нибудь оси? Такое изменение пространственной ориентации мы назовем квазиповоротом. В первой версии данной статьи, которая была опубликована 14.06.2013 утверждалось, что квазиповороты невозможны. Однако, благодаря настойчивым и содержательным возражениям читателя ya.kapeks выявилась ошибочность этой точки зрения. 

   Такого рода механизмы описаны в статье http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/04/мифы.pdf на стр. 8 — 10. В целом она состоит из учебно-методических банальностей, но параграф «Миф о невозможности безреактивного вращения» представляет интерес. Именно он стал отправной точкой для настоящей статьи. 

     Рассмотрим общий случай пары телы, взаимодействующих между собой так, что 1-я система прикладывает к 2-й крутящий момент {\mathbf M}, а 2-я система прикладывает к 1-й момент момент -{\mathbf M}. При этом движение тел предполагается плоскопараллельным, так что вектор  {\mathbf M} постоянно перпендикулярен некоторой, фиксированной плоскости. Тогда оси вращения тел остаются неподвижными. 

   Если два тела вращаются вокруг фиксированных, параллельных осей, то вокруг этих осей вращаются их центры масс. Мы также будем говорить о центрах вращения, подразумевая проекции осей вращения. Поскольку система этих тел предполагается изолированной, то общий центр масс остается неподвижным. Пусть \mathbf r и \mathbf R — векторы, ведущие из центров вращения в центры масс этих тел и параллельные плоскости вращения, m и M — массы тел, \omega\mathbf e и -\Omega\mathbf e — их угловые скорости соответственно (зависят от t), где единичный вектор \mathbf e перпендикулярен плоскости вращения. Тогда общий центр масс находится в точке, в которую из центра вращения первого тела ведет вектор 

\frac{m{\mathbf r}+M({\mathbf b}+{\mathbf R})}{m+M}

где вектор \mathbf b ведет из центра вращения первого тела в центр вращения второго. Учитывая, что {\mathbf b}=const из условия неподвижности общего центра масс следует: 

\frac{d}{dt}\frac{m{\mathbf r}+M({\mathbf b}+{\mathbf R})}{m+M}=\frac{m\dot{\mathbf r}+M\dot{\mathbf R}}{m+M}=0

Отсюда, в силу \dot{\mathbf r}=[\omega{\mathbf e},{\mathbf r}] получаем, что m[\omega{\mathbf e},{\mathbf r}]+M[-\Omega{\mathbf e},{\mathbf R}]=0, т.е, [{\mathbf e},m\omega{\mathbf r}-M\Omega{\mathbf R}]=0. Поскольку второй сомножитель перпендикулярен первому, отсюда следует: 

m\omega{\mathbf r}-M\Omega{\mathbf R}=0       (*) 

Таким образом, векторы \mathbf r и \mathbf R остаются коллинеарными в процессе движения, что невозможно, т.к. тела вращаются во встречных направлениях. Интересно, что для модулей векторов равенство (*) было бы справедливо, т.к. оно означает равенство абсолютных величин импульсов тел (m\omega r=M\Omega R). Как заметил ya.kapeks, из равенства (*) вытекает, что {\mathbf r}={\mathbf R}=0, т.е., оба тела вращаются вокруг своих центров масс.

   Устройства, описанные на стр. 8 — 10 http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/04/мифы.pdf отвечают условию {\mathbf r}={\mathbf R}=0, поэтому они способны совершать автономные квазиповороты.

  Это видео прислал ya.kapeks. Вначале ничего не происходит, поскольку космонавт совершает возвратно-поступательные движения руками. Как только он начинает ими вращать, тело приходит в движение и поворачивается в обратном направлении. На космонавта также действуют реактивные силы отталкивания от воздуха, но очевидно, что они незначительны. Поэтому в пустоте движение было бы аналогичным.

   Однако падающая кошка, совершая переворот, существенно использует аэродинамические силы. Она вращает переднюю часть тела в одну сторону, а заднюю в другую. Из-за торможения о воздух хвост гасит момент импульса задней части, так что кошка в целом приобретает ненулевой, вращательный момент. Падая в пустоте она не смогла бы так перевернуться.

   Аэродинамикой обусловлена и авторотация одновинтового вертолета с выключенным мотором, когда винт и корпус вращаются в разных направлениях. Если вывести вертолет на околоземную орбиту и включить мотор (с наддувом воздуха из баллона или электрический), то винт и корпус будут вращаться в различных направлениях. При таком движении любое взаимное положение винта и корпуса будет повторяться бесконечно, если процесс вращения продлится бесконечно. Для этого частоты вращения, а также, соответственно, моменты инерции винта и корпуса должны быть несоизмеримыми (т.е., их отношение не является рациональным числом). Но в реальности точная соизмеримость не может иметь места, т.к. частоты не являются строго постоянными. Поэтому любое положение вертолета будет повторяться при авторотации если не в строго математическом, то в физическом смысле (когда два положения неразличимы эмпирически).  

   Ya.kapeks предложил следующий способ изменения ориентации космонавта в пустоте. Пусть в исходном положении его руки опущены «по швам». Затем космонавт раздвигает их в стороны, поднимая на уровень плеч и продолжает движение руками так, чтобы они оказались над головой. Все это время руки должны оставаться в плоскости тела. Заметим, что тело при этом сдвинется вдоль продольной оси в обратном направлении, поскольку центр масс изолированной системы при любых ее движения останется в покое, если он был в покое первоначально. Затем космонавт резко опускает руки вниз, двигая ими перед собой так, что руки вращаются перпендикулярно плоскости тела. В силу закона сохранения углового момента тело начнет вращаться во встречном направлении. В тот момент, когда руки снова займут положение «по швам», тело космонавта окажется повернутым на некоторый угол. Повторяя этот маневр многократно он смог бы перевернуться лицом к Земле из положения на первом фото.  

   Для упрощения можно считать, что рука у космонавта только одна с одним суставом. Действующие на тело и руку силы, изображенные на рисунке, равны удвоенным силам, приложенным к левым и правым сторонам тела в реальности. Для этой плоской модели выполнено условие {\mathbf r}={\mathbf R}=0, поскольку на тело без руки и руку действуют только крутящие моменты, вследствие чего они вращаются вокруг своих центров масс. Мышца при этом рассматривается, как внешний по отношению к этой паре тел источник движения. Сама она сначала сжимается, а затем в расслабленном состоянии следует за движением руки и тела. Ясно, что добавление анатомических подробностей ничего принципиально не изменит. 

    Эту анимацию с квазиповоротом космонавта изготовил ya.kapeks

   Таким образом, космонавт в пустоте или невесомости способен изменить свою ориентацию в пространстве за счет движений руками и ногами. Я благодарен ya.kapeks за плодотворное обсуждение данного вопроса в режиме комментариев, что помогло исправить принципиальную ошибку в исходной версии этой статьи от 14.06.2013.

Дмитрий Зотьев

Авторотация в пустоте: Один комментарий

  1. Хотел бы высказаться по поводу текста http://ufn.ru/tribune/trib111a.pdf известного фрикоборца В.Б. Морозова, пытавшегося разнести в пух и прах публикацию http://extremal-mechanics.org/wp-content/ploads/2017/04/мифы.pdf, которая подвигла меня к написанию статьи «Авторотация». Ее 1-я версия появилась в июне 2013 (удалена), а 2-я версия существенно дополнена после дискуссии с ya.kapeks, за которую я ему искренне признателен. Итак, к статье Морозова в УФН.

    Хочу пояснить, что я невысокого мнения о статье «Мифы физики, как предмета преподавания», которая состоит из банальностей и надуманных проблем. Единственным исключением является параграф «Миф о невозможности безреактивного вращения». Поэтому критика Морозова была во многом справедливой.

    Однако, назвать его ядовитое брюзжание научной статьей трудно. Тон хамский, явно направленный на то, чтобы унизить оппонента. Для академического и, казалось бы, солидного журнала УФН такой тон неприемлем. Манерам автора едва ли стоит удивляться, т.к. Валерий Борисович Морозов — это известный в Сети собиратель и распространитель сплетен, которые он с наслаждением мусолит в «Дискуссионном клубе» форума ФИАН. При этом научная квалификация к.ф.-м.н. Морозова не адекватна его чванливому апломбу.

    Бросается в глаза глупость, которой почтенный борец с лженаукой пытался пнуть параграф «Миф о втором законе Ньютона». А именно утверждение о том, что в случае тела переменной массы формулировка 2-го закона Ньютона \frac{d\vec p}{dt}=\vec F неверна. Но именно так Ньютон сформулировал свой закон, и постоянство массы в нем не предполагается. Обратное утверждение титульного физика Морозова неверно.

    Еще одна его фраза обращает на себя внимание: «Тут есть настоящий миф о том, что в электромоторе действует сила Лоренца, если проводники в якоре электромотора лежат в пазах (как обычно), то силовая нагрузка на проводники минимальна.»

    Довольно наивное суждение. Силовая нагрузка на проводники мала лишь в том смысле, что силы Ампера уравновешены реакциями пазов. Физику Морозову видимо невдомек, что пондермоторные силы — это ничто иное, как статистический результат действия сил Лоренца на заряды, движущиеся в телах (с учетом их взаимодействия с атомами). В т.ч. в электромоторах! На проводник с током действует сила Ампера, которая складывается из сил Лоренца на электроны проводимости. Элементарный вывод этого факта содержится в школьном учебнике физики. Следует пояснить его.

    В проводнике свободный электрон, движущийся против тока со скоростью v, за время dt получает поперечный импульс силы Лоренца Bevdt, который в удвоенном количестве отдает кристаллической решетке в ходе упругого рассеивания на ядрах (в силу закона сохранения импульса). Время взаимодействия при рассеивании 2dt (время приближения dt плюс время удаления dt), тогда результирующая сила на решетку со стороны электрона составит \frac{2Bevdt}{2dt}=Bev, что численно равно силе Лоренца и направлено туда же. Из этих сил складывается сила Ампера.

    Таким образом можно считать, что сила Ампера (она же пондермоторная) равна сумме сил Лоренца на свободные электроны, движущиеся в проводнике согласно току. Что и требовалось осознать почтенному к.ф.-м.н. в бытность студентом физ-фака МГУ (!), дабы не проводить разделительную черту между силой Лоренца и пондермоторными силами.

    Рассуждения, которыми «видный эксперт» пытался опровергнуть пункт «Миф о невозможности безреактивного вращения», являются весьма поверхностными. По существу рассуждений там нет, кроме примера на рисунке http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/04/vjhj.jpg. Морозов утверждает, что так получается квазиповорот (используя термин из статьи «Авторотация в пустоте»). Но этого не происходит, поскольку для создания иллюзии вращения квадратики должны были бы повернуться против часовой стрелки на углы, равные углу поворота радиусов в результате перемещения квадратиков. Но повернуться самостоятельно они не смогут. Повернуть друг друга в одном и том же направлении они также не смогут. Поэтому квазиповорота за счет таких перемещений не произойдет!

    Г-н Морозов слишком привык поучать других и отвык думать (если когда-нибудь имел эту привычку), чтобы дать верное опровержение. Сплетнику из ФИАН хамское менторство гораздо ближе ))