Моделирование науки

Кадр из фильма «Белый шум»

   Математическое моделирование технологических процессов, осуществляемое в рамках парадигмы ТАУ (Теория Автоматического Управления), тесно связано с имитационным моделированием случайных процессов. На эту тему пишется много диссертаций, значительная часть которых симулирует науку. Этому посвящена заключительная часть статьи (после текста, выделенного красным цветом). 

   Для моделирования непрерывной, случайной величины X с заданной функцией распределения

F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^xf(\zeta)d\zeta    где  f(x)   —  плотность распределения,

следует использовать «белый шум» z_n , равномерно распределенный на отрезке [0; 1] .  Другими словами, нужна последовательность псевдослучайных чисел z_n , которая равномерно покрывает этот промежуток. В EXCEL такую последовательность генерирует функция CЛЧИС(). Тогда последовательность чисел x_n=F^{-1}(z_n) моделирует величину X. Такие значения мы могли бы получать, производя последовательные измерения. Проверим это утверждение.

   Пусть x\in [0; 1] — любое фиксированное число, и в процессе генерации последовательности x_n получен набор  x_1, x_2 , \ldots, x_N, где N — достаточно большое. Тогда m из этих чисел удовлетворяют условию  x_j\leq x .  Если  x_j=F^{-1}(z_j)  и  z_j=F(x_j), то m из чисел  z_j  удовлетворяют условию  z_j\leq F(x). Тогда отношение m/N близко к вероятности, с которой равномерно распределенная на [0; 1]  величина примет значение, не превышающее F(x). Поскольку эта вероятность дается выражением

P=\frac{F(x)-0}{1-0}=F(x) ,

 то можно считать, что F(x)=m/N. Поскольку m/N выражает долю чисел x_j,  не превышающих x ,  эта доля равна F(x) . А так как F(x) равно вероятности события X\leq x , то последовательность x_n распределена на числовой оси так, как должны быть распределены значения случайной величины X.  Это доказывает адекватность модели  x_n=F^{-1}(z_n) .  

   Как найти обратную функцию x=F^{-1}(z) ? Программируя данную задачу, достаточно решать уравнение F(x)=z относительно x при заданном z.  Именно так следует действовать, если моделируемая величина X является дискретной и принимает значения x_j. В этом случае функция распределения считается по формуле 

F(x)=\sum_{x_j\leq x} P\{X=x_j\}   .

    Рассмотрим более сложный вопрос о моделировании случайного процесса X(t). Это — случайная величина, которая меняется со временем t . Предположим, что процесс является стационарным и эргодическим. Первое означает, что свойства и статистические характеристики величины X(t) не меняются со временем (хотя ее значения, наблюдаемые в разные моменты времени, конечно меняются). Второе означает, что все характеристики (мат. ожидание, дисперсия и т.д.) можно вычислять, наблюдая изменение величины во времени.  

    Понятие эргодичности легко пояснить на простом примере. Чтобы найти M(X(t)) в какой-нибудь момент времени t нужно провести длинную серию измерений величины X(t) и, получив значения x_1(t), x_2(t), \ldots , x_n(t), вычислить статистическое среднее

M(X(t))=\frac{\sum_{j=1}^nx_j(t)}{N}

Если стационарный процесс X(t) эргодичен, то этот же результат можно получить, измерив значения X(t) в последовательные моменты  t_j  и найдя среднее по времени 

M(X(t))=\frac{\sum_{j=1}^nx(t_j)}{N}

(здесь равенства приближенные). Стационарность и эргодичность обычно предполагают, когда рассматривают технологические процессы. Их параметры X(t) случайно колеблются около стационарных значений M(X(t))=const. В дальнейшем рассматриваются только такие, случайные процессы.

   Взаимное влияния величин X(t) в различные моменты времени характеризуется т.н. автокорреляционной  функцией (АКФ) 

K_x(\tau)=M(X(t)\cdot X(t-\tau)) ,                     

значения которой не зависят от t (в силу стационарности). Чтобы моделировать случайный процесс, нужно задать интервал дискретизации \Delta t, через который будут поступать значения моделирующей последовательности x_n=x(n\Delta t) . Процесс стараются имитировать с помощью последовательности x_n так, чтобы получить исходную АКФ. Ее эмпирические (опытные) значения вычисляются по формуле:

K_x(j\Delta t)=\frac{1}{N-j}\cdot \sum_{i=j+1}^N\left(X(i\Delta t)-M(X)\right)\cdot\left(X((i-j)\Delta t)-M(X)\right)              

где  N  -  число измеренных значений данного сигнала (размер выборки). Стремятся обеспечить «попадание» в эмпирическую АКФ, чтобы имели место приближенные равенства:

K_x(j\Delta t)=\frac{1}{N-j}\cdot \sum_{i=j+1}^N\left(x_i-M(X)\right)\cdot\left(x_{i-j}-M(X)\right)             (1)

Считается, что в этом случае последовательность псевдослучайных чисел x_n адекватно имитирует случайный процесс X(t). Если добавить к  X(t) произвольную константу, то АКФ не изменится. Поэтому, если среднее значение последовательности x_n не совпадает с M(X), то ее сдвигают так, чтобы мат. ожидания совпали. Но на чем основана вера в то, что близость автокорреляционных функций гарантирует «похожесть» случайных процессов? Известно, что Фурье-образ АКФ

S(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}K_x(\tau)e^{-i\omega\cdot\tau}d\tau

является спектральной плотностью дисперсии. Это означает, что для любой частоты \omega произведение S(\omega)d\omega дает дисперсию D(X) сигнала на интервале частот [\omega-d\omega/2; \omega+d\omega/2]. Как это понимать? Предположим, что сигнал выражается силой постоянного тока I(t), которая случайным образом колеблется около среднего значения I_0. Раскладывая сигнал в интеграл Фурье I(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\omega}e^{i\omega\cdot t}d\omega , можно представить его суммой гармонических колебаний  I(t)=\sum_k I_k\cdot e^{i\omega_k\cdot t} с амплитудами I_k=I_{\omega_k}\cdot d\omega. Тогда случайным колебаниям тока I(t)  соответствуют случайные величины I_k , каждая из которых имеет дисперсию D_k.  Она и является дисперсией сигнала на интервале частот [\omega_k-d\omega/2; \omega_k+d\omega/2], так что D_k=S(\omega_k)d\omegaПоскольку дисперсия 

D_k=D(I_k)=M(I_k^2)-(M(I_k))^2

пропорциональна отклонению мощности сигнала, то совпадение спектральных плотностей дисперсий (вытекающее из совпадения АКФ) означало бы, что сравниваемые сигналы являются суперпозициями гармонических колебаний с одними и теми же частотами, мощности которых колеблются с равными амплитудами. Поскольку действие сигнала I(t) определяется его мощностью, то следует ожидать, что, с точки зрения воздействия случайных колебаний на приемное устройство, сигналы отличаются несущественно. 

   Однако, не следует переоценивать последствия совпадения АКФ. В этом случае процессы имеют равные дисперсии и совпадающие коэффициенты корреляции между величинами, разделенными равными интервалами времени. Но если коэффициент корреляции заметно отличается от \pm 1, например r_\tau=0.5, то нельзя сказать ничего определенного о взаимосвязи между значениями величин в моменты времени, отстоящие на  \tau. Достаточно посмотреть на рисунок, который иллюстрирует взаимосвязи данных при разных коэффициентах корреляции. 

 Источник изображения  http://investments.academic.ru/1079/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F

      Во всяком случае, при моделировании случайных процессов стремятся обеспечить близость АКФ имитирующего и моделируемого процессов. В общем случае сделать это трудно. Одновременно возникает проблема идентификации АКФ реального процесса, чтобы понять, как его моделировать. Нужно принять какую-то гипотезу о типе автокорреляционной функции K_x(\tau). Нередко принимается гипотеза о том, что АКФ имеет вид

K_x(\tau)=D\cdot e^{-\alpha |\tau|}           (2)

где D=D(X(t)), в качестве значения D используется выборочная дисперсия

s^2=\frac{1}{N-1}\cdot\sum_{i=1}^N(x_i-M(X))^2,     где     M(X)=\frac{1}{N}\cdot\sum_{i=1}^Nx_i   

(последнее равенство является конечно приближенным). Константа \alpha подбирается так, чтобы получить хорошее приближение к эмпирической АКФ (1). Обычно это делают методом наименьших квадратов, определяя \alpha из условия 

\sum_{j=1}^N(K_x(j\Delta t)-D\cdot e^{-\alpha\cdot j\Delta t})^2\to min

Существенным аргументом в пользу АКФ вида (2) является ее простота, а также легкость построения имитирующей последовательности x_n . Определить ее можно с помощью рекуррентной формулы:

x_{n+1}=\sigma\sqrt{1-e^{-2\alpha\Delta t}}\cdot z_n+e^{-\alpha\Delta t}\cdot x_n   ,            x_1=0 .             (3)

где последовательность x_n («белый шум») имеет нормированное гауссово распределение или равномерное распределение на промежутке [-\sqrt{3}; \sqrt{3}] (чтобы дисперсия была равна 1). Проверим, что полученная так последовательность x_n соответствует эмпирической АКФ типа (2). Из (3) вытекает формула

  x_n=e^{-\alpha j\Delta t}\cdot x_{n-j}+\sigma\sqrt{1-e^{-2\alpha\Delta t}}\left(z_{n-1}+z_{n-2}\cdot e^{-\alpha\Delta t}+\ldots+z_{n-j}\cdot e^{-\alpha(j-1)\Delta t} \right) ,               

используя которую,  из  (1) легко получить приближенные равенства 

K_x(j\Delta t)=e^{-\alpha j\Delta t}\cdot\frac{x^2_{n-j}+\ldots+x^2_{1}}{n-j}=D\cdot e^{-\alpha j\Delta t}             (4)

Поскольку j\Delta t равно времени \tau, прошедшему между имитирующими сигналами № n-j и n, то АКФ процесса x_n аппроксимируется экспонентой (2). Здесь был использован тот факт, что величины x_n и z_n независимы, а M(z_n)=0 и M(x_n)=0. Последнее легко получить, приравнивая мат. ожидания левой и правой частей уравнения (3). Приравнивая  их дисперсии получим, что D(x_n)=\sigma^2=D.  

    Таким образом, последовательность (3) действительно имитирует случайный процесс с АКФ типа (2), имея нулевое мат. ожидание и дисперсию D=\sigma^2. При этом точность аппроксимации эмпирической АКФ зависит от погрешности метода (наименьших квадратов), использованного для подбора константы \alpha, а также от j. Чем это число больше, тем лучше. При малых j близость к АКФ (2) не гарантируется. Осталось прибавить M(X) к каждому x_n, что не изменит автокорреляционную функцию. Теперь можно использовать последовательность x_n,  как имитацию сигналов  X(t), поступающих в дискретные моменты времени t_n=n\Delta t и обладающих АКФ типа (2).    

   Рассмотренная задача регулярно появляется среди работ, связанных с моделированием технологических процессов. Для имитации случайного процесса вместо (3) нередко предлагается  рекуррентная  формула:

x_{n+1}=x_n+\frac{\Delta t}{T}(z_n-x_n)  ,      где      \alpha=\frac{1}{T}          (5)

z_n  - гауссов или равномерный «белый шум» на любом промежутке. Затем сигнал x_n подвергают линейному преобразованию A\cdot x_n+B, где A  и B — константы. Они подбираются так, чтобы полученный процесс имел дисперсию и мат. ожидание исходного процесса. Из рассуждений, аналогичных выводу (4) можно получить, что 

K_x(j\Delta t)=D\cdot (1-\alpha\Delta t)^j .

Если \Delta t<< T , то эта величина близка к e^{-\alpha \tau}, где \tau=j\Delta tТаким образом, данный метод также может использоваться для моделирования случайных процессов с АКФ вида (2), хотя и вносит лишнюю погрешность. Она может оказаться весьма существенной, если длина интервала дискретизации сравнима с константой времени или «белый шум» генерируется с ненулевым мат. ожиданием. Это имеет место, например, если псевдослучайные числа z_n равномерно распределены на промежутке [0; 1], что на практике встречается нередко. Для корректного применения метода (5) следует выбирать симметричный промежуток для генерации случайных чисел. Впрочем, метод (3) выглядит надежнее и проще.     

   В связи с АКФ вида (2) возникает важный, методологический вопрос: насколько оправдано применение таких моделей? Известно, что спектральные плотности входящего X(t) и выходящего Y(t) сигналов связаны уравнением

S_y(\omega)=|W(i\omega)|^2\cdot S_x(\omega)          (6)

где W(i\omega) — частотная характеристика. Функции S_x(\omega) S_y(\omega) — это Фурье-образы для АКФ сигналов  X(t) и Y(t). Глядя на (6) легко понять, что для большинства каналов управления входящий и выходящий сигналы не могут одновременно иметь АКФ вида (2). Строгое доказательство дано на стр. 8 — 10 отзыва на диссертацию http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Dissert_Kur_responce.pdf.

   Таким образом, следующее утверждение из книги «Моделирование процессов управления в интеллектуальных измерительных системах» (Капля Е. В., Кузеванов В. С., Шевчук В. П.), на самом деле, очень далеко от истины:      

«Аппроксимация корреляционных функций экспоненциальной формой не только справедлива для большинства параметров технологических процессов, но и может быть использована, как универсальная форма описания измерительной информации в системах управления».

   Эта ошибка легла в основу множества работ и защищенных диссертаций, которые вращаются вокруг имитационного моделирования случайных процессов, но в сущности лишь имитируют такое моделирование. Модели не проверяются в ходе реальных испытаний, но их адекватность декларируется, как результат работы. На этой основе строятся алгоритмы управления, которые также не тестируются на промышленном оборудовании. О том, как это происходит и в чем заключается лукавство данного подхода, подробно написано в отзывах http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Dissert_Kur_responce.pdf и http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/Sharovina_Responce.pdf.

   К диссертациям данного типа также относятся  http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/01004858916.pdf, http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2014/12/BoldyrevIA.pdf и http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/belchanskaya.pdf, которыми руководил В.П. Шевчук. В текстах этих работ повторяются формулы и утверждения из докторской http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/01000026746.pdf, касающиеся моделей измерительной информации и погрешностей измерительных каналов. Само по себе нормально и похвально, если научное наследие руководителя живет в трудах учеников (хотя в связи с открытиями проф. Шевчука есть вопросы). Однако не нормально, когда ученики вставляют в свои диссертации куски чужой работы и не указывают подлинного автора. Таковы, например, все формулы в http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/belchanskaya.pdf, которые присутствуют и в остальных четырех текстах. Поскольку научный руководитель в курсе таких «небрежностей», трудно назвать это иначе, как очковтирательством.  

  Несмотря на формально другого руководителя, работа http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2014/12/BoldyrevIA.pdf не является исключением, что видно из списка публикаций. В.П. Шевчук, по-видимому, является автором фундаментального положения об экспоненциальной аппроксимации АКФ, которое выделено красным цветом. К несчастью, оно оказалось ложным вместе с универсальной методикой моделирования случайных сигналов, предполагающей построение последовательности (5). Хотя в отдельных случаях, возможно, это как-то работает.

   Следует также отметить странную методологию, согласно которой проверка адекватности моделей случайных процессов осуществляется посредством имитационного моделирования. Казалось бы, последнее есть просто алгоритм, реализующий сигнал с АКФ вида (2). Каким образом он может служить проверкой адекватности мат. модели, основанной на такой АКФ? Без реальных экспериментов ни о какой проверке адекватности говорить нельзя, даже если принять утверждение об экспоненциальной аппроксимации, как достоверный факт. Однако, оно оказалось заблуждением, причем ошибка пряталась в основах ТАУ (см. выше). Кроме того, как обсуждалось выше, эмуляция случайного сигнала с заданной АКФ автоматически не означает, что воспроизведены все его существенные свойства.

   Таким образом, имитационное моделирование по методикам В.П. Шевчука необходимо проверять реальными экспериментами. Как видно из рассмотренных работ, в действительности этого не происходит. В оправдание нередко говорят о том, что натурные эксперименты дороги и практически невозможны в условиях производства, а имитационное моделирование позволяет решить эту проблему. Несомненно позволяет, вопрос только — какая в действительности проблема так решается? Получения адекватных моделей технологических процессов или производства кандидатов наук ? 

     Об этом не стоило бы писать публично — мало ли кто и где ошибся, не ошибается лишь тот, кто ничего не делает, … если бы тема не имела отношения к статье http://extremal-mechanics.org/archives/14590. Но к сожалению она его имеет, при этом самое прямое. Поэтому придется назвать вещи своими именами: на кафедре АТП ВФ МЭИ профессор Шевчук наладил конвейер по производству диссертационной липы. Помимо симуляции имитационного моделирования, новейшим know how стала блестящая идея внедрять результаты там, где они написаны — на кафедре АТП ВФ МЭИ (см. http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2014/11/SharovinaSO.pdf и http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Kur_avto.pdf). Известно, что диссертации по техническим наукам должны быть где-то внедрены на практике (плата технарей за привилегию не доказывать системные утверждения). Теперь это не обязательно, т.к. внедрением считается использование результатов в учебном процессе. Cтудентов можно обучать на чем угодно, они претензий не предъявят. Может быть, было бы лучше писать диссертации по пед. наукам?

P.S. На эту тему также рекомендуется статья http://extremal-mechanics.org/archives/14590.

Дмитрий Зотьев

Моделирование науки: 17 комментариев

    • Думаю, что хватит. Это был мой скромный вклад в дело очищения России от коррупции, сравнимое с известным подвигом Геракла.

    • Смотрел не раз и был доволен увиденным. Мне нечего стыдится, я диссертаций не подделывал. Попробуйте возразить по существу, если мозгов хватит. Только не выйдет, т.к. с мозгами в нынешнем ВФ МЭИ серьезные проблемы. Зато с управлением персоналом все ОК ))

  1. Скандальный приказ об организованном собирании статей для публикации в журнале «АЭЭ» (см. конец статьи «Моделирование науки» ) , по-видимому, уже отменили. Похвальная оперативность! Надеюсь, что при такой гибкой, редакционной политике журнал не останется без желающих опубликоваться «в списке ВАК», а творцы псевдодиссертаций не лишатся дружелюбного канала ))

    • А какое отношение имеет Волжский филиал Национального Исследовательского Университета МЭИ к (акцентирую) АЛЬТЕРНАТИВНОЙ энергетике и ЭКОЛОГИИ ?
      Он выпускает специалистов по АЛЬТЕРНАТИВНОЙ энергетике или ЭКОЛОГОВ ?

    • Хороший вопрос. Альтернативная энергетика — это возобновляемые источники энергии (солнце, ветер, течения и т.д.). А также лженаучные бредни на тему извлечения энергии из ничего, которые публикует журнал «АЭЭ» http://extremal-mechanics.org/archives/9708.

  2. Читая (чуть не написал многие, подумал, решил, что прочел далеко не все) темы на вашем сайте, я подумал, что если бы во времена моей учебы у меня оказались такие пособия, то я был бы намного образованнее…

    • Спасибо за Ваши лестные оценки! Я всегда стараюсь излагать мысли просто и не топить их в наукообразных словесах, насколько это возможно ))

  3. В НИИРадио был человек, о котором В.А.Котельников отзывался, знаю со слов моего отца, как о самой светлой голове в НИИР. Этого человека звали Владимир Михайлович Дорофеев. В его секторе мне посчасливилось работать десяток лет. Иногда ему приходилось комментировать доклады других сотрудников на ежегодных конференциях в НИИР. У меня всегда после его месседж возникало ощущение, что я тоже понял о чем основной докладчик говорил. Вот и после прочтения этой вашей темы о АКФ я испытал что-то похожее.

  4. Сага о том, как Уфимский авиационный университет спасал бездарную фальшивку http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/UGATU.pdf. Везде одно и то же? Мои замечания http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Modelling-of-the-science.pdf (фактически на автореферат http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Kur_avto.pdf и статьи по теме диссертации), на которые ссылается в своем заключении совет.

    Отзыв на диссертацию В.Н. Курьянова http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/Dissert_Kur_responce.pdf, написанный после возвращения из славного города, который там — на горе ))

  5. 8 мая 2015 диссертационный совет при Уфимском авиационном университете (УГАТУ) признал диссертацию Шаровиной не соответствующей требованиям. Также, как и в случае с Курьяновым, давление со стороны МЭИ измерялось в Терапаскалях. Но в этот раз восторжествовала ее Величество Научная Истина. Браво УГАТУ!

  6. Все же интересно взглянуть на документ от 8 мая 2015 диссертационного совета при Уфимском авиационном университете (УГАТУ). Интересно его писали те же лица, что упомянуты в http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/04/UGATU.pdf ? Там упомянуты 16 человек диссертационного совета и половина из них доктора всех наук. Интересно они читали подписанный ими документ, или подписывали не глядя? А в целом Вас можно поздравить, прецедент создан. Осталось сделать его правилом.

    • Взглянуть не получится. За окончанием этой истории можно будет проследить по сайту ВАК. Там публикуются приказы о лишении ученых степеней, хотя по данному случаю решения еще нет. Слово за ВАК. Что касается ошибочного заключения того же дисс. совета по Курьянову, то оно стало следствием давления со стороны МЭИ. Такое же, если не более сильное давление имело место и на этот раз, однако совет в целом его выдержал. К отдельным членам, которые явно выслуживались перед г-ном Рогалевым, это конечно не относится. Данное решение дисс. совета при УГАТУ действительно создает прецедент, который серьезно повлияет на ситуацию с коррупцией в сфере науки и образования. Браво, могу только еще раз это повторить!

      Завязывайте общение с мошенником и провокатором Трещаловым, вот Вам мой добрый совет. Иначе темная сторона силы получит власть над Вами ))